Лекции.Орг


Поиск:




Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Вычисление собственных значений и собственных векторов

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

(1)

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Классический способ нахождения собственных значений и собственных векторов известен и заключается в следующем: для однородной СЛАУ, полученной из (1)

(A−λE)x =0 (2)

ненулевые решения имеют место при

det(A−λE) = 0 (3)

причем уравнение (3) называют характеристическим уравнением, а выражение в левой части - характеристическим многочленом.

Каким-либо способом находят решения λ1, λ2,…, λn алгебраического уравнения (3) n-й степени (предположим, что они вещественны и различны).

Решая однородную СЛАУ (3) для различных собственных значений λj где j =1,…,n,

(A −λj E) xj=0, j =1,…,n.

получаем линейно независимые собственные векторы, x j соответствующие собственным значениям λj.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.

Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц A nxn (A = AT) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы U в преобразовании подобия Λ= U-1AU, а поскольку для симметрических матриц A матрица преобразования подобия U является ортогональной (U-1=UT), то Λ =UTAU, где Λ - диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали

 

.

 

Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с определенной точностью все собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:

 

Пусть известна матрица А(k) на k–й итерации, при этом для k=0 A(0)= A.

 

1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы

2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу U(k), чтобы в результате преобразования подобия A(k+1)=U(k)T A(k)U(k) произошло обнуление элемента матрицы A(k+1).

В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:

 

 

В матрице вращения на пересечении i -й строки и j -го столбца находится элемент

, где - угол вращения, подлежащий определению.

Симметрично относительно главной диагонали (j -я строка, i -й столбец) расположен элемент Диагональные элементы и равны соответственно , ; другие диагональные элементы , ; остальные элементы в матрице вращения равны нулю.

 

Угол вращения определяется из условия :

 

,

 

причем если то .

 

3. Строится матрица в которой элемент .

 

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов:

 

 

Если , то итерационный процесс продолжается.

Если , то итерационный процесс останавливается, и в качестве искомых собственных значений принимаются

 

Координатными столбцами собственных векторов матрицы A в единичном

базисе будут столбцы матрицы т.е.,

 

), ), ),

 

причем эти собственные векторы будут ортогональны между собой, т.е.

Задание: Вычислить собственные значения и собственные векторы для симметричной матрицы.

 

 

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Приложение А. Примеры работы оболочки | Анализ существующих методов получения наноуглеродных материалов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-01-21; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 3771 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Сложнее всего начать действовать, все остальное зависит только от упорства. © Амелия Эрхарт
==> читать все изречения...

780 - | 700 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.