Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Вычисление собственных значений и собственных векторов

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

(1)

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Классический способ нахождения собственных значений и собственных векторов известен и заключается в следующем: для однородной СЛАУ, полученной из (1)

(A−λE)x =0 (2)

ненулевые решения имеют место при

det(A−λE) = 0 (3)

причем уравнение (3) называют характеристическим уравнением, а выражение в левой части - характеристическим многочленом.

Каким-либо способом находят решения λ₁, λ₂,…, λn алгебраического уравнения (3) n-й степени (предположим, что они вещественны и различны).

Решая однородную СЛАУ (3) для различных собственных значений λ_j где j =1,…,n,

(A −λ_j E) x^j=0, j =1,…,n.

получаем линейно независимые собственные векторы, x ^j соответствующие собственным значениям λ_j.

Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы.

Метод вращений Якоби численного р ешения задач на собственные значения и собственные векторы матриц

Метод вращений Якоби применим только для симметрических матриц A nxn (A = A^T) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Он основан на отыскании с помощью итерационных процедур матрицы U в преобразовании подобия Λ= U^-1AU, а поскольку для симметрических матриц A матрица преобразования подобия U является ортогональной (U^-1=U^T), то Λ =U^TAU, где Λ - диагональная матрица с собственными значениями на главной диагонали

Пусть дана симметрическая матрица A. Требуется для нее вычислить с определенной точностью все собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Алгоритм метода вращения следующий:

Пусть известна матрица А^(k) на k–й итерации, при этом для k=0 A⁽⁰⁾= A.

1. Выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы

2. Ставится задача найти такую ортогональную матрицу U⁽^k⁾, чтобы в результате преобразования подобия A⁽^k⁺¹⁾=U⁽^k⁾^T A⁽^k⁾U⁽^k⁾ произошло обнуление элемента матрицы A⁽^k⁺¹⁾.

В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения, имеющая следующий вид:

В матрице вращения на пересечении i -й строки и j -го столбца находится элемент

, где - угол вращения, подлежащий определению.

Симметрично относительно главной диагонали (j -я строка, i -й столбец) расположен элемент Диагональные элементы и равны соответственно , ; другие диагональные элементы , ; остальные элементы в матрице вращения равны нулю.