Входное сопротивление цепи относительно ветви

Входное сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отношение э.д.с. E_k, действующей в этой ветви, к току I_k в этой же ветви при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

rkk=EkIk.rkk=EkIk. (28)

Входная проводимость ветви k – величина обратная входному сопротивлению этой ветви

gkk=1rkk.gkk=1rkk. (29)

Взаимное сопротивление (передаточное сопротивление) ветвей k и l – отношение э.д.с. E_k, действующей в ветви k, к току I_l, проходящему по ветви l при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

rkl=EkIl.rkl=EkIl. (30)

Взаимная проводимость ветвей k и l – величина обратная взаимному сопротивлению тех же ветвей

gkl=1rkl.gkl=1rkl. (31)

Пример. Для схемы рис. 8 входные сопротивления цепи относительно ветвей 1, 2 и 3 соответственно равны

r11=Dr2+r3,    r22=Dr1+r3,     r33=Dr1+r2,r11=Dr2+r3,    r22=Dr1+r3,     r33=Dr1+r2,

а взаимные сопротивления ветвей 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 соответственно равны

r12=r21=Dr3,    r23=r32=Dr1,     r13=r31=Dr2,r12=r21=Dr3,    r23=r32=Dr1,     r13=r31=Dr2,

где D = r ₁· r ₂ + r ₁· r ₃ + r ₂· r ₃.

Баланс мощностей

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии

Σ P_ист = Σ P_потреб, или Σ EI = Σ I ² r (32)

где Σ EI – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. E и соответствующего тока I совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно (при выборе положительных направлений токов в ветвях с э.д.с. выбираем направление тока совпадающим с действием соответствующей э.д.с.); Σ I ² r – арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

 

Упражнения и задачи

Задача 1. Для цепи (рис. 9) найти эквивалентные сопротивления между зажимами a и b, c и d, d и f, если r ₁ = 6 Ом, r ₂ = 5 Ом. r ₃ = 15 Ом, r ₄ = 30 Ом, r ₅ = 6 Ом.

Решение

Расчет сопротивления r_ab.

Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений r ₄ и r ₅ найдем по формуле (14)

r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5    Ом;r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5   Ом;

оно соединено последовательно с r ₂; их общее сопротивление

r' = r ₂ + r ₄₅ = 5 + 5 = 10 Ом.

Сопротивление цепи состоит из сопротивления r ₁, последовательно с которым соединены два параллельных сопротивления r' и r ₃

rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12    Ом. rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12   Ом.

Расчет сопротивления r_cd.

Сопротивления r ₄ и r ₅ теперь соединены параллельно друг другу; сопротивление r ₃ к ним включено последовательно

r′′=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20    Ом. r″=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20   Ом.

Сопротивление r_cd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений r ₂ и r» и равно

rcd=r2⋅r′′r2+r′′=5⋅205+20=4    Ом. rcd=r2⋅r″r2+r″=5⋅205+20=4   Ом.

Расчет сопротивления r_df.

Эквивалентное сопротивление цепи между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений: r ₅, r ₄ и r ₂ + r ₃ и может быть определено по формуле (13)

1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,

откуда r_df. = 4 ом.

Задача 2. Для цепи (рис. 10) начертить кривую зависимости эквивалентного сопротивления между точками a и b как функцию от k (0 ≤ k ≤ 10).

Ответ: при k = 0 и k = 1 r_ab = 0; при k = 0,5 r_{ab макс} = 250 Ом.

Задача 3. Цепь, схема которой изображена на рис. 11, а, состоит из пяти одинаковых сопротивлений r ₁ = r ₂ = r ₃ = r ₄ = r ₅ = 10 кОм.

Чему равно сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К?

Решение

Ключ разомкнут.

Сопротивления r ₃, r ₄ и r ₅ соединены между собой последовательно; заменяющее их эквивалентное сопротивление является параллельным к сопротивлению r ₁; величина сопротивления, заменяющего r ₃, r ₄, r ₅ и r ₁, равна

r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5    кОм. r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5   кОм.

Искомое сопротивление цепи

r_ab = r' + r ₂ = 7,5 + 10 = 17,5 кОм.

Ключ замкнут.

В этом случае сопротивления r ₁ и r ₃ соединены параллельно друг другу, а сопротивления r ₄ и r ₅закорочены (рис. 11, б). Искомое сопротивление цепи будет

rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15    кОм. rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15   кОм.

Задача 4. Вычислить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 12) между зажимами a и b, если все семь ее сопротивлений одинаковы:

Указание. Обратить внимание на закорачивающие проводники mn и np.

Ответ: 10 Ом.

Задача 5. Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 13, а): r ₁ = r ₂ = r ₃ = r ₄ = r ₅ = r ₆ = r ₇ = 10 Ом.

Решение

При разомкнутом ключе заданная схема может быть изображена согласно рис. 13, б.

Искомое сопротивление

rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1    Ом. rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1   Ом.

При замкнутом ключе заданная схема имеет вид, изображенный на рис. 13, в.

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений

r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5    Ом,r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5   Ом,

и r'', определяемого из формулы

1r′′=1r4+1r7+1r2,1r″=1r4+1r7+1r2,

откуда r' = 3,33 Ом. Таким образом,

rab=r′+r′′=5+3,33=8,33    Ом. rab=r′+r″=5+3,33=8,33   Ом.