Входное сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отношение э.д.с. Ek, действующей в этой ветви, к току Ik в этой же ветви при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю
rkk=EkIk.rkk=EkIk. (28)
Входная проводимость ветви k – величина обратная входному сопротивлению этой ветви
gkk=1rkk.gkk=1rkk. (29)
Взаимное сопротивление (передаточное сопротивление) ветвей k и l – отношение э.д.с. Ek, действующей в ветви k, к току Il, проходящему по ветви l при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю
rkl=EkIl.rkl=EkIl. (30)
Взаимная проводимость ветвей k и l – величина обратная взаимному сопротивлению тех же ветвей
gkl=1rkl.gkl=1rkl. (31)
Пример. Для схемы рис. 8 входные сопротивления цепи относительно ветвей 1, 2 и 3 соответственно равны
r11=Dr2+r3, r22=Dr1+r3, r33=Dr1+r2,r11=Dr2+r3, r22=Dr1+r3, r33=Dr1+r2,
а взаимные сопротивления ветвей 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 соответственно равны
r12=r21=Dr3, r23=r32=Dr1, r13=r31=Dr2,r12=r21=Dr3, r23=r32=Dr1, r13=r31=Dr2,
где D = r 1· r 2 + r 1· r 3 + r 2· r 3.
Баланс мощностей
Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии
Σ Pист = Σ Pпотреб, или Σ EI = Σ I 2 r (32)
где Σ EI – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. E и соответствующего тока I совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно (при выборе положительных направлений токов в ветвях с э.д.с. выбираем направление тока совпадающим с действием соответствующей э.д.с.); Σ I 2 r – арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.
Упражнения и задачи
Задача 1. Для цепи (рис. 9) найти эквивалентные сопротивления между зажимами a и b, c и d, d и f, если r 1 = 6 Ом, r 2 = 5 Ом. r 3 = 15 Ом, r 4 = 30 Ом, r 5 = 6 Ом.
Решение
Расчет сопротивления rab.
Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений r 4 и r 5 найдем по формуле (14)
r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5 Ом;r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5 Ом;
оно соединено последовательно с r 2; их общее сопротивление
r' = r 2 + r 45 = 5 + 5 = 10 Ом.
Сопротивление цепи состоит из сопротивления r 1, последовательно с которым соединены два параллельных сопротивления r' и r 3
rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12 Ом. rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12 Ом.
Расчет сопротивления rcd.
Сопротивления r 4 и r 5 теперь соединены параллельно друг другу; сопротивление r 3 к ним включено последовательно
r′′=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20 Ом. r″=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20 Ом.
Сопротивление rcd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений r 2 и r» и равно
rcd=r2⋅r′′r2+r′′=5⋅205+20=4 Ом. rcd=r2⋅r″r2+r″=5⋅205+20=4 Ом.
Расчет сопротивления rdf.
Эквивалентное сопротивление цепи между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений: r 5, r 4 и r 2 + r 3 и может быть определено по формуле (13)
1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,
откуда rdf. = 4 ом.
Задача 2. Для цепи (рис. 10) начертить кривую зависимости эквивалентного сопротивления между точками a и b как функцию от k (0 ≤ k ≤ 10).
Ответ: при k = 0 и k = 1 rab = 0; при k = 0,5 rab макс = 250 Ом.
Задача 3. Цепь, схема которой изображена на рис. 11, а, состоит из пяти одинаковых сопротивлений r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r 5 = 10 кОм.
Чему равно сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К?
Решение
Ключ разомкнут.
Сопротивления r 3, r 4 и r 5 соединены между собой последовательно; заменяющее их эквивалентное сопротивление является параллельным к сопротивлению r 1; величина сопротивления, заменяющего r 3, r 4, r 5 и r 1, равна
r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5 кОм. r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5 кОм.
Искомое сопротивление цепи
rab = r' + r 2 = 7,5 + 10 = 17,5 кОм.
Ключ замкнут.
В этом случае сопротивления r 1 и r 3 соединены параллельно друг другу, а сопротивления r 4 и r 5закорочены (рис. 11, б). Искомое сопротивление цепи будет
rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15 кОм. rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15 кОм.
Задача 4. Вычислить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 12) между зажимами a и b, если все семь ее сопротивлений одинаковы:
Указание. Обратить внимание на закорачивающие проводники mn и np.
Ответ: 10 Ом.
Задача 5. Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 13, а): r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = r 5 = r 6 = r 7 = 10 Ом.
Решение
При разомкнутом ключе заданная схема может быть изображена согласно рис. 13, б.
Искомое сопротивление
rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1 Ом. rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1 Ом.
При замкнутом ключе заданная схема имеет вид, изображенный на рис. 13, в.
Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений
r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5 Ом,r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5 Ом,
и r'', определяемого из формулы
1r′′=1r4+1r7+1r2,1r″=1r4+1r7+1r2,
откуда r' = 3,33 Ом. Таким образом,
rab=r′+r′′=5+3,33=8,33 Ом. rab=r′+r″=5+3,33=8,33 Ом.
