Метод эквивалентных преобразований

Во всех случаях применения метода эквивалентных преобразований замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1) Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления последовательны, если они обтекаются одним и тем же током. Например, на схеме цепи, изображенной на рис. 2, сопротивления r ₁, r ₂ и r ₉ соединены последовательно; так же последовательны сопротивления r ₇ и r ₈.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных участков, равно сумме этих сопротивлений этих участков

r э =r1+r2+…+rn=∑k=1nrk.rэ=r1+r2+…+rn=∑k=1nrk. (12)

2) Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной паре узлов. Например (рис. 2), сопротивления r ₄₅ = r ₄ + r ₅ и r ₁₀параллельны.

Эквивалентная проводимость цепи, состоящей из n параллельно соединенных ветвей равна сумме этих проводимостей этих ветвей. Эквивалентное сопротивление такой цепи находится как величина обратная эквивалентной проводимости этой цепи

1r э =1r1+1r2+…+1rn=∑k=1n1rk.1rэ=1r1+1r2+…+1rn=∑k=1n1rk. (13)

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений r ₁ и r ₂ эквивалентное сопротивление

r э =r1⋅r2r1+r2.rэ=r1⋅r2r1+r2. (14)

3) Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным. Смешанное соединение – это сочетание последовательного и параллельного соединения сопротивлений. Например, сопротивления r ₁, r ₂ и r ₃ (рис. 3) находятся в смешанном соединении. Их эквивалентное сопротивление равно

r э =r1+r2,3=r1+r2⋅r3r2+r3.rэ=r1+r2,3=r1+r2⋅r3r2+r3. (15)

При смешанном соединении сопротивлений токи ветвей цепи (рис. 3):

по закону Ома

I1=Ur э,I1=Urэ, (16)

по формуле разброса токов (делителя токов)

I2=I1⋅r3r2+r3,     I3=I1⋅r2r2+r3.I2=I1⋅r3r2+r3,     I3=I1⋅r2r2+r3.

4) Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 4, а) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис. 4, б) и наоборот имеют вид

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪r1=r12⋅r31r12+r23+r31;r2=r23⋅r12r12+r23+r31;r3=r31⋅r23r12+r23+r31,{r1=r12⋅r31r12+r23+r31;r2=r23⋅r12r12+r23+r31;r3=r31⋅r23r12+r23+r31, (17)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪g12=g1⋅g2g1+g2+g3;g23=g2⋅g3g1+g2+g3;g31=g3⋅g1g1+g2+g3,{g12=g1⋅g2g1+g2+g3;g23=g2⋅g3g1+g2+g3;g31=g3⋅g1g1+g2+g3, (18)

где g – проводимость соответствующей ветви.

Формулы (18) можно записать через сопротивления так

r12=r1+r2+r1⋅r2r3;   r23=r2+r3+r2⋅r3r1;   r31=r3+r1+r3⋅r1r2.r12=r1+r2+r1⋅r2r3;   r23=r2+r3+r2⋅r3r1;   r31=r3+r1+r3⋅r1r2. (19)

Пример – в задаче 51.

Метод эквивалентного генератора напряжения (метод холостого хода и короткого замыкания или метод активного двухполюсника)

Для нахождения тока I в ветви ab, сопротивление которой r (рис. 5, а, буква А на рисунке обозначает активный двухполюсник), надо разомкнуть эту ветвь и при этом найти (любым способом) разность потенциалов на зажимах разомкнутой ветви – U_х (рис. 5, б). Затем надо вычислить сопротивление короткого замыкания r_к, равное эквивалентному сопротивлению всей остальной цепи, вычисленному в предположении, что в ней отсутствуют э.д.с. (при этом внутренние сопротивления источников сохраняются) и что она питается от постороннего источника, присоединенного непосредственно к зажимам a и b (рис. 5, в; буква П на рисунке обозначает пассивный двухполюсник).

Сопротивление r_к может быть вычислено либо непосредственно по схеме рис. 5, в, либо из соотношения

r к =U х I к,rк=UхIк, (20)

где I_к – ток короткого замыкания, протекающий по ветви ab, если ее сопротивление r сделать равным нулю (рис. 5, г).

Заданная схема (рис. 5, а) может быть заменена эквивалентным генератором напряжения с э.д.с. E = U_х и внутренним сопротивлением r_э = r_к, присоединенным к зажимам ab сопротивления r (рис. 5, д).

Ток в искомой ветви, имеющей сопротивление r, определяется из формулы закона Ома

I=U х r+r к. I=Uхr+rк. (21)

Примеры – в задачах 55 и 56.