Рассмотрим некоторые широко используемые в теории цифровой обработки сигналов последовательности.
1. Сдвиг последовательности x(nT) по оси nT: последовательность y(nT)=x(nT-kT) образуется при сдвиге последовательности x(nT) на k отсчетов вправо (при k >0) или влево (при k<0).
2. Дискретная дельта-функция (единичный импульс) определяется соотношением
. (2.3)
3. Аналитическая запись последовательности. Из определения дискретной d-функции следует, что любая последовательность x(nT) может быть записана в виде
(2.4)
так как все члены суммы при 
равны нулю.
4. Единичная последовательность определяется соотношением
. (2.5)
5. Экспоненциальная последовательность определяется соотношением x(nT)=e a nT , где в общем случае a=s+jw - комплексное число. При w=0 a=s - вещественное и x(nT) =e s nT =cn – вещественная степенная последовательность.
6. Периодической называют последовательность x(nT), удовлетворяющую условию x(nT)= x(nT+mNT), где m и N – целые числа, m= 1, 2, 3, …; NT (или N) – период последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода. При выходе в результате сдвига из интервала одного периода какого-то отсчета точно такой же отсчет входит в интервал с другого его конца. Такой сдвиг называется круговым. Заметим еще, что сдвиг периодической последовательности x(nT) с периодом N на k’>N отсчетов нельзя отличить от сдвига на (k’)mod N=k<N отсчетов.
Получение спектра сигнала
Спектром временной зависимости (функции) x(t) называется совокупность ее гармонических составляющих (гармоник), образующих ряд Фурье.
Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождение коэффициентов ak, bk ряда Фурье
, (2.6)
где f1 -частота повторения (или частота первой гармоники), k -номер гармоники.
Коэффициенты ряда Фурье определяются выражениями
, (2.7)
, 
(2.8)
где T=1/f1 -период повторения периодической функции x(t).
Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье. Спектром Xa(jw) аналогового сигнала xa(t) называют прямое преобразование Фурье
. (2.9)
В свою очередь, согласно обратному преобразованию Фурье
. (2.10)
Пара преобразований для решетчатой функции (дискретной последовательности) x (nT) имеет вид:
; (2.11)
, (2.12)
где X(ej w T ) называют спектром дискретного сигнала.
Свойства спектров дискретных сигналов.
1. Из (2.11) следует, что спектр X(ej w T ) дискретной последовательности является периодической функцией по частоте w с периодом, равным частоте дискретизации:
; 
, k= 1, 2, 3, … Ясно, что также периодическим по частоте с периодом являются модуль спектра |X(ej w T )| и фаза –аргумент arg X(ej w T ).
Кроме того, для вещественных последовательностей x(nT), как следует из (2.11),
|X(ej w T )|= |X(e-j w T )|,
arg X(ej w T)= - arg X(e-j w T),
т.е. модуль спектра вещественной последовательности является четной функцией, а аргумент – нечетной функцией частоты.
2. Очевидно свойство линейности преобразований Фурье.
3. При сдвиге спектра X(ej w T ) последовательности x(nT) по оси частот вправо на величину w1 получаем спектр Y(ej w T )= X(ej( w-w1 )T ). Этому спектру согласно (2.12) соответствует последовательность y(nT)=ej w1 nT x(nT), и, следовательно, сдвиг спектра по оси частот соответствует умножению последовательности x(nT) на последовательность ej w1 nT .
4. При сдвиге дискретного сигнала x(nT) вправо (т.е. при задержке по времени сигнала) на n1 отсчетов получаем сигнал y(nT)=x(nT-n1T) и согласно (2.11) спектр задержанного сигнала
Y(ejwT)= e-jwn1T X(ejwT). (2.13)
5. Дискретный сигнал x(nT) и модуль его спектра | X(ej w T )| связаны следующей зависимостью (теорема Парсеваля)
(2.14)
Теорема Котельникова
Аналоговый сигнал дискретизируется при помощи дискретизатора, т.е. амплитудно-импульсного элемента, реагирующего на дискретные равноотстоящие значения входного сигнала в моменты t=nT, n =0, 1, 2, … На выходе дискретизатора образуется последовательность выборок x(nT)≈xa(t)|t=nT. Наоборот восстановление аналогового сигнала x a (t) по его дискретному представлению – последовательности выборок x(nT) – сводится к использованию различных интерполяционных процедур.
При выполнении некоторых условий, определяемых теоремой отсчетов (теоремой Котельникова), операции дискретизации и восстановления взаимно обратны. Согласно этой теореме: если аналоговый сигнал x a (t) имеет ограниченный (финитный) спектр X a(jw), т.е. такой, что X a(jw)=0 при |w|>w0 (условное изображение модуля спектра дано на рис.2.а), то такой сигнал можно однозначно представить последовательностью выборок x(nT), n =0, 1, 2, … при 
, где wД=2pf³2w0.
При этом
, (2.15)
откуда следует, что сигнал x a (t) можно получить, если пропустить последовательность x(nT) через идеальный (физически не реализуемый) аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза 
и с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) | K (j w)|= T в полосе пропускания.
Спектр X(ej w T ) последовательности x(nT), полученной в результате дискретизации с частотой 
аналогового сигнала x a (t), и спектр X a(jw) последнего связаны соотношением
(2.16)
т.е. спектр последовательности x(nT) равен с точностью до множителя 
сумме спектров соответствующего сигнала x a (t), смещенных по оси частот на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации 
.
На рис.2.2. б и в приведено условное изображение модуля спектра | X(ejwT)| дискретного сигнала x(nT) соответственно для случаев wД³2w0 и wД<2w0. В первом случае спектр дискретного сигнала совпадает в интервале |w|≤|w0| со спектром аналогового сигнала, а во втором случае имеет место явление наложения спектров, при этом спектр дискретизированного сигнала не совпадает в интервале |w|≤|w0| с исходным спектром аналогового сигнала.
Таким образом, если аналоговый сигнал xa(t) обладает финитным спектром X a(jw) с частотой среза w0, то он может быть без потери информации представлен последовательностью x(nT), полученной в результате дискретизации АС с частотой wД³2w0. (2.17)
Наоборот по дискретному сигналу x(nT) может быть согласно (2.15) восстановлен аналоговый сигнал x a (t).
Во многих случаях спектр X a(jw) аналогового сигнала x a (t) не содержит частоту w=0, а сосредоточен в некоторой полосе 0¹wmin≤w≤wmax<¥; таким является, например, спектр радиосигналов, модулированных по амплитуде или фазе. В этих случаях для точного представления аналогового сигнала последовательностью выборок условия (2.17) приводит к завышенным значениям необходимой частоты дискретизации; между тем достаточно выбрать частоту дискретизации , удовлетворяющую равенствам
(2.18)
где q =1, 2, …, E ц 
, причем запись Е ц[A] означает «целая часть числа А». Если частота дискретизации выбрана недостаточно высокой и (2.18) не удовлетворяется, то имеют место наложения смещенных спектров и в результате спектр X(ej w T ) дискретного сигнала в диапазоне 
отличается от спектра аналогового сигнала X a(j w), т.е. дискретизация аналогового сигнала приводит к потере информации.
