Определители. Основные сведения
Определение. Определитель (детерминант) матрицы 
– это число, характеризующее квадратную матрицу и вычисляемое по специальному правилу:
1. Определитель первого порядка (n = 1)
.
2. Определитель второго порядка (n = 2)
.
3. Определитель третьего порядка n = 3
=
= а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 a 31 + а 21 а 32 a 13 - a 31 a 22 a 13 - a 12 a 21 a 33 - a 32 a 23 a 11.
Определители более высокого порядка вычисляются рекурентно (см. ниже).
Определитель матрицы А обозначается также det A или символом D.
Определение. Минором 
– элемента 
– называется определитель 
-го порядка, полученный вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
Определение. Величина 
называется алгебраическим дополнением элемента .
Примечание.
· Определитель n -го порядка имеет n 2 миноров -го порядка.
· 
, если 
– четное число;
· 
, если – нечетное число.
Основные свойства определителей
1. Равноправие строк и столбцов.
,
то есть определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Замечание. Все свойства, сформулированные для строк, верны и для столбцов.
В частности, при 
имеем: 
2. Правило Лапласа, разложения по строке.
Для любой строки, напрмер 
-той, справедливо равенство:
,
то есть определитель равен сумме произведений элементов -той строки на их алгебраические дополнения.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строке:
= 
, где i = 1, 2, 3.
3. Свойство нормировки.
Определитель единичной матрицы равен 1.
4. Аддитивность.
Если все элементы какой-либо строки определителя представляют сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух соответствующих определителей:
В частности, при имеем:
.
5. Однородность.
Общий множитель какой-либо строки можно выносить за знак определителя:
В частности, при имеем:
.
Пример. 
.
6. Антисимметричность.
При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак.
.
В частности, при имеем:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:
.
Следствия из свойств определителей
1. Определитель диагональной матрицы равен поизведению диагональных элементов.
Пример. 
.
2. Определитель треугольной матрицы равен поизведению диагональных элементов.
Пример. 
.
3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю.
Доказательство.
Пусть в матрице 
строки 
и 
- одинаковые (по условию) то есть
(
). (*)
Обозначим определитель матрицы через 
. Переставим местами строки с номерами и 
. С одной стороны, по условию теоремы, они одинаковые, а значит от их перестановки ничего не изменится. С другой стороны, по свойству 6, при перестановки любых двух строк определитель меняет знак, а значит он равен нулю.
4. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой строки, предварительно умноженные на одно и то же число.
.
В частности, при имеем:
.
Доказательство.
Обозначим 
. Прибавим к -той строке определителя -тую строку, домноженную на число 
: 
. По свойству аддитивности и однородности имеем: 
=
= 
.
Последнее слагаемое равно нулю, так как представляет собой определитель с двумя одинаковыми строками.
Пример. 
.
5. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить линейную комбинацию других строк.
Замечание. Следсвие 5 является обобщением следствия 4. Докажите самостоятельно.
6. Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо его ряда равны нулю:
.
7. Сумма произведений элеменов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю, то есть
, 
.
8. Определитель некоторой матрицы равен нулю, тогда и только тогда, когда строки этой матрицы линейно зависимы.
1) Если строки линейно зависимы, то существует строка являющаяся линейной комбинацией остальных строк. Прибавим к ней эту комбинацию с противоположым знаком.при этом значение определителя согласно свойству 11 не изменится. Но, таким образом, получим нулевую строку. А, согласно свойству 13, определитель равен нулю.
2) Предположим противное. Определитель матрицы равен нулю, а ее строки – линейно независимы. Но по определению Л.Н. строк следует, что их линейная комбинация с ненулевым набором коэффициентов никогда не равна нулю
