Задачи для самостоятельного решения. 1)Вычислить определитель:

1) Вычислить определитель:

a) . (Областная, 1996, 15 мая)

 

b) квадратной матрицы восьмого порядка, у которой на главной диагонали стоят числа 1 4 0 4 1 9 9 9, а вне ее тройки. (Областная, 1999, 14 апреля)

2) Числа 1081, 1403, 2093, 1541 делятся на 23. Докажите, что делится на 23. (Международная, 2002)

3) Не развертывая определителей, доказать следующие тождества

А) ;

Б) .

4) Вычислить определитель . (Международная, 2002)

5) Пусть (по главной диагонали «двойки», над и под главной диагональю – «единицы», остальные – нули). Вычислить .

6) Вычислить , если , и при .

7) Вычислить .

(Или , и при . Найти .)

8) Вычислить при .

9) Вычислить .

10) Для любого вычислить определитель -го порядка

. (областная, 2011)

11) Решить уравнение .

12) Вычислить , если , и при . (Международная, 2002)

13) , и при . Найти .

14) Доказать, что для матриц A и B, таких что .

15) Как изменится определитель матрицы, если у всех его элементов изменить знак на противоположный? (П221)

16) Пусть – антисимметрическая матрица 2007 порядка.

17) Пусть . Матрица B получена из матрицы A симметрией относительно побочной диагонали. Выразить через .

18) При каких имеет решение матричное уравнение , где , . Найти все эти решения.

19) Доказать, что если в определителе порядка n на пересечении некоторых k строк и l столбцов, стоят элементы равные нулю, причем , то определитель равен нулю. (К 3.8.2)

20) Как изменится определитель порядка n, если его матрицу повернуть на 90° вокруг «центра»? (П231)

21) Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами? (П232)

22) Пусть A – квадратная матрица n -го порядка. Элементы матрицы B выражаются через элементы матрицы A по формуле (). Матрица C получается из матрицы A заменой ее элементов на элементы, симметричные относительно побочной диагонали. Как связаны определители матриц В и A, С и А? (Областная, 1999)

23) Матрица Х является решением матричного уравнения где , . Доказать, что .

24) Пусть – квадратная матрица 2011-го порядка, . Сколько решений имеет уравнение ? (Областная, 2011)

25) Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного а) из чисел 0 и 1; б) из чисел 1 и –1. (К 3.8.1)

 

26) Решить уравнение , если .

27) Среди всех определителей третьего порядка с элементами равными 1 или –1 найти наибольший.

28) Пусть , – симметрические матрицы (, ) 2007 порядка. Доказать, что определитель равен нулю.

29) Решить уравнение , если и X – целочисленна. (Указание: вычислить определитель от обеих частей)

30) Найти все матрицы X второго порядка, удовлетворяющие равенству .

31) , если . Доказать, что нет решений. (Указание: выделить полный квадрат).

32) Найти все квадратные матрицы второго порядка, такие что , .

33) При каких n совместна система , A – антисимметрическая матрица.

34) , при и при . Показать, что уравнение имеет ненулевое решение.

35) (М2, КЧ) Найти все числа c, умножение на которые невырожденной матрицы A не изменяет ее определителя. (П826)