Хорда мен жанамынцың біріктірілген әдісі.

Кейбір жағдайларда хорда мен жанама әдістерін қабат қолдануға болады. Мұны былай іске асырады. және нүктелері арқылы хорда жүргіземіз және (1-ші жағдай) болса А нүктесінде, әйтпесе (2-ші жағдай) В нүктесіндегі жанама жүргіземіз.

 

b

a

c1

c2

x*

x

y

B(b;F(b))

A(a;F(a))

b

a

c1

c2

x*

x

y

B(b;F(b))

A(a;F(a))

1- ші жағдай

b

a

c2

c1

x*

x

y

B(b;F(b))

A(a;F(a))

b

a

c1

c2

x*

x

y

B(b;F(b))

A(a;F(a))

2- ші жағдай

 

 

Екі жағдайда түбірінің мәні хорда әдісімен табылған мәні мен жанама әдісімен табылған мәнінің аралығына тиісті болады. 1-ші жағдайда түбірі шартын, 2-ші жағдайда шартын қанағаттандырады. теңсіздігі орындалғанда итерация аяқталады, мұндағы мен – қажетті дәлдікпен алынған түбірдің жуық мәндері. Егер болса, онда түбірі кесіндісінде бөліктенген және осы кесіндіге тағы да хорда мен жанама әдісін қолданамыз. болғанша итерацияны жалғастыра беру қажет. Біріктірілген әдістің артықшылығы оның:

1) шапшаң жинақтылығы;

2) табылған жуық түбірдің қателігі өте тез бағалануы;

Билеті №9

Жай итерация әдісінің негізгі ұғымы

Бұл әдістің алгоритмі былай орындалады: (4.1) теңдеуді

(8.1)

түріне келтіреміз. Мұндай түрлендіруді әртүрлі тәсілдермен орындауға болады. Айталық, (8.1) теңдеудің түбірінің алғашқы жуық мәні болсын. Онда келесі жуықтау үшін , ал мұнан кейінгі жуықтау . Осы процесті жалғастырып, k- жуықтау үшін:

, (8.2)

қабылдаймыз. Итерациялық процесті

k=1,2,3...,n,...

шарты орындалғанша жалғастырамыз. Бұл әдісті пайдаланғанда негізгі мәселе: жуық мәндер тізбегі k-ның мәні өскенде (8.1) теңдеудің шешіміне жинақтала ма, жоқ па? Енді осы жай итерация әдісінің жинақтылығының жеткілікті жеткілікті шартын қарастырамыз.

Тһ 8.1 (Жинақтылықтың жеткілікті шарты). Егер [a;b] аралығында анықталған, үзіліссіз және үзіліссіз туындысы функциясы үшін:

, (8.3)

шарты орындалса, онда , яғни итерациялық процесс жинақты, әйтпесе процесс жинақсыз.

Дәлелдеуі: Егер х=c теңдеудің түбірінің дәл мәні , ал k-жуықтау болса, онда:

немесе

Бұл өрнекте орта мән туралы теореманы (ақырлы өсімшелер туралы Лaгранж теоремасы: ), қолданып төмендегі теңдікті аламыз:

, мұндағы .

функциясы үзіліссіз және дифференциaлданатын функция болғандықтан ол осы аралықта максимум мәнін қабылдайды. болсын. Онда болады. Осы тәсілмен біртіндеп төмендегі өрнектерді аламыз:

Бұдан мынадай нәтиже шығады:

Егер бүкіл интервалда М<1 болса, онда k өскенде мәніне тәуелсіз теңсіздіктің оң жағы кеми бастайды және белгілі бір -нөмірден бастап берілген -нан кем шама болады:

Демек, { } тізбегі x=c-ға (түбірдің дәл мәніне) жинақталады. Бұл жағдайда жинақтылықың үш түрін айырып жазуға болады:

1. болса, “жақсы” жинақтылық.

2. болса, “орташа” жинақтылық.

3. болса, “нашар” жинақтылық.