Хорда әдісінің схемасы

Бұл әдістің идеясы [a;b] кесіндісінде F(x) функциясын абсциссалары кесіндінің ұштары А=a және B=b болатын функцияның графигінің нүктелерін қосатын хордамен аппроксимациялау (жуықтау) (төмендегі суретті қара):

I

y

x

B

bI

A

II

y

x

B

b

x1 x2

 

a

a

A

 

 

III

IV

y

x

B

a

A

b

y

x

B

a

A

b

 

 

 

 

Хорданың абсцисса осьмен қиылысу нүктесі теңдеудің ізделінуі түбірдің бірінші жуық мәні болып табылады. A(a;F(a)) және B(b;F(b)) нүктелерімен өтетін хорданың теңдеуі.

немесе

(5.1)

 

Бұл өрнектің оң жағын арқылы белгілеп мына түрде жазуға болады:

Хорданың теңдеуінде у=0 болғанда оның осьімен қиылысу нүктесінің абсциссасын табамыз:

(5.2)

F(x) функциясы [a;b] аралығында үзіліссіз, монотонды өспелі және болғандықтан . Міне, осылай хорда әдісі үшін итерациялық

(5.3)

формуласын табамыз. Мұндай сандық тізбектің шегі (4.1) теңдеудің түбіріне жинақталады. Шынында да, анық болу үшін делік. Онда функциясы монотонды өспелі және оның графигі ойыс болады. Бұдан, графиктің ұштарын қосатын хорданың ішкі нүктелері графиктің сәйкес нүктелерінен жоғары орналасады:

, (5.4)

Егер, теңдеудің түбірі болса, яғни , бұдан екені шығады. Ал (5.2) және (5.3) теңдіктерден алатынымыз:

,

Сонымен,

(5.5)

Бірақ сызықты функциясы монотонды өспелі, себебі кесіндінің ұштарында сызықтан (5.5) формуладан теңсіздігі шығады. Әрі қарай, [a;b] кесіндісін кесіндісімен алмастырып және екенін ескеріп жоғарыдағыдай тәсілмен екенін анықтаймыз. Осылайша индукция бойынша екені белгілі. Сонымен тізбегі монотонды өспелі және жоғарыдан шектелген, демек, ол жинақты. Оның шегін деп (5.3) теңдіктен шекке көшіп яғни тізбектің шегі (4.1) теңдеудің түбірі екенін көреміз.

Дәл осылайша басқа жағдайларды да қарастыруға болады.

(функция өспелі, графигі дөңес),

(функция кемімелі, графигі ойыс),

(функция кемімелі, графигі дөңес),

Әрбір итерациядан кейін кесіндінің ұштары қысқарады. Үзіліссіз және дифференциялданатын функцияның қасиеттеріне байланысты әрбір рет функция қарама-қарсы таңба қабылдайтын бөлігі қалады. Егер және бірдей таңба қабылдаса, яғни (І және IV жағдайлар), онда кесіндінің оң жақ ұшы x=b қозғалмайды және деп алынады. Кері жағдайда, яғни болса (ІІ және III жағдайлар), онда сол жақ ұшы x=a қозғалмайды және деп алынады.

 

 

Билеті №8

Жанамалар әдісі.

теңдеуді шешудің тағы бір классикалық әдістерінің бірі Ньютон әдісі. [a,b] кесіндісінде туындылары үзіліссіз және белгілі таңбаларын сақтайтын болсын. Бұл әдістің итерациялық формуласын табу үшін мұндағы нүктесі арқылы жүргізілетін түзу функциясының графигіне жанама болуы қажет. Ол үшін бұл түзудің бұрыштық коэффиценті болуы керек. Жанаманың осьімен қиылысу нүктесінде у=0 болғандықтан

теңдеуінен

(6.1

Ньютон әдісін қолданғанда (4.1) теңдеудің түбірі орналасқан [a;b] кесіндісінің ұштарын көрсетудің қажеті жоқ, тек түбірдің бастапқы жуық мәнін беру жеткілікті.

 

а

В

в

у

х

А

 

\

 

 

Бастапқы жуықтау үшін [a;b] кесіндісінің бір ұшын (Сурет –6.1-де ) немесе оған тиісті деп қабылдауға болады. (6.1) формула бойынша -ны табамыз, содан кейін -ны есептейміз. Әрі қарай, және кесінділерінің қайсысының ұшында функциясының мәндері әртүрлі таңба қабылдайтынын анықтап аламыз да сол аралықта, жанаманың формуласын қайтадан қолданамыз.

аралығында үзіліссіз және үзіліссіз туындылары бар функция үшін есептеу процессінің жинақтылығының жеткілікті шартын анықтауға болады.

Ол үшін теңдігін түріне келтірсек k-ші жуықтау бұл жағдайда Ньютон формуласы бойынша:

Бұл шарт орындалуы үшін:

1) бастапқы жуықтау түбірдің дәл мәніне барынша жақын болады;

2) туынды аса үлкен болмауы;

3) туынды мүмкіншілігінше нөльден өзгеше болуы.

Осы шарттар сақталғанда біртіндеп итерация барысында

(6.2)

шарты орындалса, түбірдің жуық мәндері оның дәл мәніне тек ғана бір жағынан жақындайды. Сондықтан Ньютон әдісін қолданғанды бастапқы жуықтау үшін берілген кесіндінің қай жақ ұшында (6.2) шарт орындалса, сол үшін бастапқы жуықтау үшін қабылдаймыз. Жанаманың осьімен қиылысу нүктесі [a;b] кесіндісіне тиісті болуы үшін жанаманы кесіндінің F(x) функциясы және оның екінші туындысының таңбалары бірдей болатын ұшында жүргізу қажет. Сонда, егер болса , ал болса нүктесінде жүргіземіз.