Задачи №31-40 предусматривают расчёт цепей с несинусоидальными токами и напряжениями.

 

 

Основой расчёта таких цепей является принцип наложения: токи и напряжения рассчитываются для каждой из гармоник в отдельности, а также для постоянной составляющей, если она имеется в цепи.

При расчёте каждой из гармоник применяются обычные методы расчёта цепей синусоидального однофазного тока.

Пример 4

К цепи, состоящей из последовательно включенных резистора R=8 Ом, индуктивности L=19,1 мГн и конденсатора С=265 мкФ, приложено напряжение, описываемое уровнем (169 sinωt +45,4 sin 3 ωt)В. £=50 Гц – частота первой гармоники.

Определить действующие значение несинусоидального тока и напряжения в цепи, полную S и активную Р мощности.

 

Решение

Кривая заданного напряжения U= f(1) раскладывается на гармоники U₁=169 sinωt (В) и третьей U₃=45,4 sin 3 ωt (В). Частота первой гармоники совпадает с частотой приложенного напряжения. Произведём расчёт для каждой составляющей несинусоидального напряжения отдельно.

Сначала рассчитаем реактивные сопротивления для первой гармоники (£=50 Гц)

X_L1=2π£₁L=2*3,14*50* 0,0191=6 Ом

 

1 1

X_C1 2π£₁C 2*3,14*50*256*10^-6 12 Ом

 

Первая гармоника: U₁=169 sinωt (В)

R=8 Ом, X_L1=6 Ом, X_C1=12 Ом.

 

Полное сопротивление

 

Z₁= ²+(X_L1- X_C1)² = ²+(6-12)²=10 Ом.

 

Действующее значение напряжения

U₁m 169

U₁ , U₁m=169, U₁ ≈ 120 B

 

Действующее значение тока

 

U₁ 120

I₁ Z₁ 10 12 A

 

 

Третья гармоника: U₃=45,4 sin 3 ωt, f₃=3f₁

 

Активное сопротивление R остаётся неизменённым и равным 8 Ом.

Индуктивное сопротивление зависит от частоты (X_L=2π£L). Таким образом, при увеличении частоты в 3 раза индуктивное сопротивление так же увеличиться в 3 раза, т. е.

X_L3 = 3* X_L1 = 3*6=18 Ом

Емкостное сопротивление тока зависит от частоты (Хс= 2π£с) и при увеличении частоты в 3 раза оно уменьшится в 3 раза т. е.

Хс₃ 12

Хс₃ 3 3 4 Ом

 

Полное сопротивление

 

Z₃= ³+(X_L3-Xc₃)²= ²+(18-4)²=16,1 Ом

 

Действующее значение напряжение

U₃m 45,4

U₃ 32,2 B

 

 

Действующее значение тока

U₃ 32,2

I₃ Z₃ 16,1 2 A

 

Действующее значение всего несинусоидального тока

I= ₁²+I₂³= ²+2²=12,2 A

 

Действующее значение несинусоидального напряжения

U= ₁²+U₃²= ²+32,2²=124 B.

 

Полная мощность

S=U*I=124*12,2=1512,8 Ba.

 

Активная мощность

P=I²R=12,2²*8=1190 Вт.

 

 

В задачах 41-50 должны быть расчёты переходных процессов возникавших при заряде конденсатора от источника постоянного напряжения.

Пример 5

Конденсатор ёмкостью С=0,4 мкФ, соединённый последовательно с резистором R=2,5 МОм, подключается к постоянному напряжению U= 50 В.

Определить постоянную времени t и значения зарядного напряжения на конденсаторе для времени, равного t₀=0, t₁=t, t₂=2t, t₃=3t, t₄=4t, t₅=5t.

Построить график зависимости U=f(t)

Решение

1)Постоянная времени цепи

t=R*C=2,5*10⁶*0,4*10^-6=1c,

(здесь R в Омах, С в фарадах).

 

2)Напряжение на конденсаторе в любой момент времени при зарядке

₁
U₁=U(1-e ^r)

где е – основание натурального логарифма е=2,718

для времени t₀=0

₀

U=U(1-e ^r )=50(1-e⁰)=50(1-1)=0 B

 

для времени t₁ = t

_r

U₁=U (1- e^r )=50(1-e^-1)=50(1-0.367)=31.65 B

 

для времени t₂=2t

_2r

U₂=U (1- e^r )=50(1-e^-2)=50(1-0.135)=42.25 B

 

для времени t₃=3t

_3r

U₃=U (1- e^r )=50(1-e^-3)=50(1-0.0498)=47.51 B

 

для времени t₄=4t

_4r

U₄=U (1- e^r )=50(1-e^-4)=50(1-0.0183)=49.09 B

 

для времени t₅=5t

_5r

U₅=U (1- e^r )=50(1-e^-5)=50(1-0.0067)=49.07 B

 

Строим кривую зависимости напряжения от времени заряда конденсатора.

 

 

U(в)

 

50

40

U=f(t)

 

30

 

 

20

 

10

 

1 2 3 4 6 t(c)