Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Лекция №8 Продолжение

Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Рис.8.2 Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Решение задачи можно получить, устремляя внешний радиус цилиндра к бесконечности () и полагая, что на бесконечности () напряжения принимают предельное значение , а на внутренней границе давление отсутствует. Граничные условия в этом случае можно записать в виде:

: , (8.28)

: (8.29)

Используя граничные условия, найдём константы A и B. Имеем:

(8.30)

(8.31)

Тогда поле перемещений определяется выражением:

+ . (8.32)

На границе полости (при ):

(8.33)

Поле напряжений определяется формулами:

, (8.34)

. (8.35)

На границе полости (при ) радиальные напряжения равны нулю.

Тангенциальные сжимающие напряжения равны удвоенному давлению:

(8.36)

Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления

Рис.8.4. Цилиндрическая полость в бесконечной среде при действии равномерного внутреннего давления

Граничные условия в этом случае определяются выражениями:

: , (8.37)

: . (8.38)

Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:

, (8.39)

. (8.40)

Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:

, (8.41)

(8.42)

Для поля перемещений имеем:

. (8.43)

Радиальные перемещения границы полости от внутреннего давления равны

. (8.44)

Последнее выражение используется в полевых испытаниях для определения модуля сдвига грунтов с помощью специального прибора прессометра, для чего в цилиндрической полости задаётся давление и определяется перемещение стенок полости.

8.2.2.4. Абсолютно жёсткое цилиндрическое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Рассмотрим другой предельный случай, когда в среде, подверженной равномерному давлению находится абсолютно твёрдый цилиндр. Такая модель может описывать напряжённо деформированное состояние грунта и его воздействие на обделку, в том случае, когда жёсткость тоннельной обделки очень велика и тоннель расположен в слабых грунтах.

Рис.8.5. Абсолютно жесткое тело в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Граничные условия в этом случае имеют следующий вид:

: , (6.45)

: (6.46)

Константы интегрирования A и B при этих условиях определяются выражениями:

, (6.47)

. (6.48)

Поле напряжений можно найти, используя следующие выражения:

, (6.49)

(6.50)

На границе жёсткого включения, что соответствует воздействию среды на цилиндр, имеем:

, (6.51)

(6.52)

Для поля перемещений вблизи цилиндрического включения имеем:

. (6.53)

Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Рассмотрим более реальный случай - цилиндрическая полость, подкреплённая цилиндрической оболочкой при действии в среде равномерного давления.

Рис.8.4. Толстостенный цилиндр в бесконечной среде при действии равномерного внешнего давления

Для цилиндра можно записать следующие граничные условия:

r = a: , (8.54)

r = b: , (8.55)

где . Константы A₁ и B₁ в этом случае определяются выражениями

, (8.56)

, (8.57)

где и упругие константы материала цилиндрической оболочки,

- нормальное давление грунта на оболочку.

Используя найденные константы A₁ и B₁, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:

, (8.58)

, (8.59)

. (8.60)

На границе со средой перемещение внешней поверхности оболочки имеет вид:

(8.61)

Для среды, находящейся под постоянным гидростатическим давлением с цилиндрической полостью, контактирующей с цилиндрическим телом, можно записать следующие граничные условия:

: , (8.62)

: . (8.63)

Обозначив упругие константы, характеризующие среду и , и используя граничные условия, определим константы интегрирования A₂ и B₂.

, (8.64)

(8.65)

Используя найденные константы A₂ и B₂, получим выражения для перемещений и напряжений в оболочке:

, (8.66)

, (8.67)

. (8.68)

На границе полости перемещение имеет вид:

(8.69)

Приравнивая нормальные перемещения внешней поверхности оболочки и границы полости, получим выражение для определения нормального давления на поверхность цилиндра:

. (8.70)

Для тонкостенного цилиндра, полученное выражение можно упростить, полагая и введя обозначение для толщины цилиндра. Имеем

(8.71)

Отметим, что давление на цилиндр зависит от жёсткости цилиндра. При увеличении жёсткости цилиндра давление на цилиндр приближается к предельному значению

. (8.72)