Решение невырожденных линейных систем.

Л е к ц и и 3-4

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия.

Решение систем линейных уравнений. Теорема

Кронекера-Капелли.

Решение невырожденных линейных систем. Формулы

Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Системы линейных однородных уравнений.

Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа а_ij, , называются коэффициентами системы, числа b_i — свободными членами. Подлежат нахождению числа х_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

А · Х = В.

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

— вектор-столбец из неизвестных x_j,

— вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц А ·X определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (n штук).

Расширеннойматрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных х₁ = c₁, x₂ = c₂,..., x_n = c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца .

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как х₁ = х₂ =... = х_n = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Решение невырожденных линейных систем.

Формулы Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

или в матричной форме А • X = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае Δ ≠ 0.

Умножив обе части уравнения А • X = В слева на матрицу A^-1, получим A^-1 • А • Х = A^-1• B. Поскольку A^-1 • А = Е и Е • X = X, то

X = A^-1• B. (1)

Отыскание решения системы по формуле (1) называют матричным способом решения системы.

Матричное равенство (1) запишем в виде

то есть

Отсюда следует, что

.........................

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель Δ получается из определителя Δ путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Итак, .

Аналогично: , где получен из Δ путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; , ...

..., .

Формулы

, (2)

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (1) либо по формулам Крамера (2).

Пример. Решить систему 2x₁ – x₂ = 0,

x₁ + 3x₂ = 7.

Решение: , , . Значит,

, .