Определение моментных характеристик процесса по выборочным данным

ИССЛЕДОВАНИЕ стационарнОСТИ и ЭРГОДИЧНОСТИ

Случайных процессов

 

Цель работы: освоить основные понятия теории случайных процессов; научиться моделировать процесс авторегрессии 1-го порядка; научиться определять выборочные характеристики процессов.

Теоретическая часть

Основные понятия СП

Случайной функцией называется функция неслучайного аргумента, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайным процессом называют случайную функцию аргумента , который истолковывается как время.

Сечением случайного процесса называют случайную величину , соответствующую фиксированному значению аргумента случайного процесса. Реализацией случайного процесса называют неслучайную функцию аргумента , в которую превращается случайный процесс в результате испытания. Случайный процесс можно рассматривать как совокупность случайных величин , зависящих от параметра или как совокупность его возможных реализаций.

Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент наблюдаемого периода времени.

Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент представляет собой непрерывную случайную величину. Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени множество его состояний конечно или счётно.

Одномерной функцией распределения случайного процесса называется неслучайная функция вида

.

Одномерный закон распределения не может служить исчерпывающей характеристикой случайного процесса . Более полной характеристикой будет двумерный закон распределения, представленный совместной функцией распределения двух сечений случайного процесса, взятых соответственно для моментов и :

.

В инженерных приложениях обычно ограничиваются одномерным, иногда – двумерным законом распределения случайного процесса.

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция, которая при любом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса . Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, которая при любом значении аргумента равна дисперсии соответствующего сечения . Для процессов с дискретным множеством состояний матожидание и дисперсия определяются соответственно как

, .

Для случайных процессов с непрерывными состояниями

, ,

где - одномерная плотность распределения случайного процесса .

Корреляционной функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов и , которая при каждой паре значений аргументов и равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса: и .

.

 

Стационарность СП

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его -мерные законы распределения не изменяются при сдвиге всех его временных аргументов на одинаковую произвольную величину :

.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами: .

 

Эргодичность

Стационарный СП называется эргодическим, если для него осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением по времени по одной реализации. Т.е. по любой одной достаточно длинной реализации мы можем судить о свойствах всех реализаций СП.

Процесс может быть эргодическим относительно математического ожидания и корреляционной функции. Чаще всего под эргодичностью понимается эргодичность в относительно математического ожидания.

 

Процесс является эргодическим относительно математического ожидания, если существует

,

не зависящий от выбора реализаций. В противном случае процесс не является эргодическим.

Достаточное условие эргодичности по математическому ожиданию (теорема Слуцкого):

.

Следствие: Если , то случайный процесс является эргодическим.

Процессы авторегрессии

Случайный процесс называется процессом авторегрессии 1 порядка или AR(1), если для него выполняется соотношение:

где - некоторая константа, - константа, соответствующая матожиданию процесса, - дискретное время, - независимые от значения случайной величины с нормальным распределением .

Для стационарного процесса AR(1) выполняются следующие соотношения:

, , нормированная корреляционная функция .

 

Определение моментных характеристик процесса по выборочным данным

Состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания по выборочным данным является среднее арифметическое значение .

Состоятельной и несмещенной оценкой является исправленная выборочная дисперсия .

В качестве оценки нормированной автокорреляционной функции случайного процесса, представленного временным рядом длины , принимают

,

где:

– выборочный коэффициент автокорреляции для запаздывания на периодов;

- выборочное среднее;

– наблюдение в -ый момент времени;

– число наблюдений.

С ростом точность оценки заметно снижается. На практике обычно максимальное значение .

Порядок выполнения работы

1. Программно реализовать генерацию временной реализации случайного процесса авторегрессии 1 порядка, параметры которого указаны в индивидуальном задании. Программно реализовать расчет статистических характеристик по выборке : матожидания, дисперсии, корреляционной функции.

2. Исследовать стационарность процесса.

Получить выборочные значения сечений процесса в момент времени и , т.е. найти значения реализации в момент времени для заданного числа реализаций . По полученным выборкам найти среднее арифметическое значение , выборочную дисперсию и выборочный коэффициент нормированной автокорреляции

Изменяя число реализаций исследовать сходимость выборочных характеристик к теоретическим , , . Для этого заполнить таблицу

Теоретическое значение	Выборочное значение
Число выборочных значений в сечении
=10	=100	=1000

 

3. Исследовать процесс на эргодичность.

Сгенерировать временной ряд длиной . По полученной выборке найти среднее арифметическое значение . выборочную дисперсию и выборочный коэффициент нормированной автокорреляции . Построить нормированную выборочную корреляционную функцию .

Изменяя число реализаций исследовать сходимость выборочных характеристик к теоретическим , , . Для этого заполнить таблицу

Теоретическое значение	Выборочное значение
Число значений в реализации
=10	=100	=1000

 

 

4. Сделать выводы о стационарности и эргодичности случайного процесса.

Контрольный пример

Процесс AR(1), , где =5, =0.75,

Исследовать стационарность процесса (по сечениям)

Момент времени =100

Реализация сечения

Выборочные характеристики по сечению

		=10	=100	=1000
5		5.8	5.16	5.01
9.143			9.8	9.1
0.75		0.5	0.73	0.751

 

Исследовать эргодичность процесса (по реализации)

Временная реализация.

 

Нормированная корреляционная функция

Выборочные характеристики по реализации

 

		=10	=100	=1000
5		5.18	5.05	4.99
9.143			8.5	9.32
0.75		0.65	0.73	0.751

 

 

Вопросы

 

1. Дайте определение случайного процесса как совокупности случайных величин и совокупности его возможных реализаций.

2. Дайте определение матожидания и дисперсии случайного процесса.

3. Дайте определение случайного процесса, стационарного в широком смысле.

4. Дайте определение эргодичного случайного процесса.

5. Сформулируйте критерии эргодичности.

6. Дайте определение корреляционной функции случайного процесса.

7. Что характеризует корреляционная функция?

8. Как строится оценка матожидания и дисперсии по выборочным данным?

9. Как строится оценка корреляционной функции по выборочным данным?

10. Дайте определение процесса авторегрессии 1-го порядка.

11. Какие ограничения налагает условие стационарности на коэффициент авторегрессии 1-го порядка?

12. Как связан параметр процесса AR(1) с «гладкостью» временной реализации?

13. Как связан параметр процесса AR(1) со значениями автокорреляционной функции?

 

 

Варианты

Параметры процесса AR(1)

№				момент времени
	0.5	0.9	0.1
		-0.9	0.2
	1.5	0.8	0.3
		-0.8	0.4
	2.5	0.7	0.5
		-0.7	0.6
	3.5	0.6	0.7
		-0.6	0.8
	4.5	0.5	0.9
		-0.5
	5.5	0.4	1.1
		-0.4	1.2
	6.5	0.3	1.3
		-0.3	1.4
	7.5	0.2	1.5
		-0.2	1.6
	8.5	0.85	1.7
		-0.85	1.8
	9.5	0.55	1.9
		-0.55	2.0