Описание сигналов и систем

(1.2)

Момент соответствует моменту приложения входного воздействия к сис­теме управления (рис. 1.1).

Типовые сигналы связаны соотношением

т.е. дельта-функцию можно считать производной от единичной ступенчатой функции .

Рис. 1.1

2. Описание систем. Непрерывные процессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда, если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнением

(1.3)

с начальными условиями

(1.4)

где — входной сигнал; — выходной сигнал; — время;

— коэффициенты левой и правой частей уравнения; и — порядки старших производных выходного и входного сигналов соответственно; — момент начала функционирования системы.

Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:

(1.5)

В операторной форме уравнение (1.3) имеет вид

где — символ, обозначающий операцию дифференцирования; — дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения (1.3):

Уравнение (1.5) в операторной форме имеет вид

(1.6)

где

Из операторной формы уравнения следует способ изображения стацио­нарной системы на структурных схемах (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Сложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовых звеньев.

1. Усилительное звено (рис. 1.3,а) описывается уравнением

(1.7)

где — коэффициент усиления. Если звено стационарное, то . Примеры усилительных звеньев:

а) трансформатор (рис. 1.3,б), где выходное напряжение связано с входным соотношением: ;

б) редуктор (рис. 1.3,в), где угловые скорости выходного и входного вала связаны через соотношение чисел зубьев шестерен:

Рис. 1.3

2. Дифференцирующее звено (рис. 1.4) описывается уравнением

(1.8)

Выходной сигнал равен производной входного сигнала. Уравнение (1.8) в опера­торной форме имеет вид .

Рис. 1.4

Рис. 1.5

3. Интегрирующее звено (рис. 1.5,а) описывается уравнением

. (1.9)

Выходной сигнал получается в результате интегрирования входного. В опе­раторной форме уравнение (1.9) имеет вид

или .

Для примера рассмотрим процесс изменения угловой скорости диска с моментом инерции J под действием управляющего момента внешних сил М из состояния покоя (рис. 1.5,б).

Уравнение вращательного движения: . Отсюда имеем

, а если положить , , получаем уравнение (1.9).

4. Звено чистого запаздывания описывается уравнением , где у — величина запаздывания выходного сигнала относительно входного.

5. Апериодическое звено (рис. 1.6,а) описывается уравнением

,

где Т — действительное положительное число, называемое постоянной времени. Операторная форма записи уравнения (1.10) имеет вид

.

В качестве примера рассмотрим схему с заданным сопротивлением R и ем­костью С (рис. 1.6,б). В начальный момент времени емкость не заряжена.

Рис. 1.6

Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее измене­ние выходного напряжения при условии подачи на вход постоянного напряже­ния единичной величины.

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток и напряжение на емкости, и начальные условия:

,

,

.

Отсюда следует

,

.

Используя обозначения , , , получаем уравнение вида (1.10). Если , то решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

На рис 1.6, в изображены входной и выходной (заметим, что он неперио­дический) сигналы.

6. Колебательное звено (рис. 1.7,а) описывается уравнением

, (1.11)

где — постоянная времени; — коэффициент демпфирования, . Для примера рассмотрим схему с известными параметрами R, L, С (рис. 1.7,6). В начальный момент времени ток в цепи отсутствует, а емкость не заря­жена Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее измене­ние выходного напряжения.

Рис. 1.7

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток и напряжение на емкости, и начальные условия:

, ,

, .

Отсюда получаем

.

По сравнению с (1.11) здесь , , , .

График типовой реакции рассматриваемой схемы на единичное ступенчате входное напряжение при комплексных корнях характеристического уравнения с отрицательной вещественной частью и нулевых начальных условиях изображен на рис. 1.7,в.

7. Неустойчивое апериодическое звено (рис. 1.8,а) описывается уравнением

,

где — число, называемое постоянной времени.

8. Неустойчивое колебательное звено (рис. 1.8,б) описывается уравнением

,

где — постоянная времени; — коэффициент демпфирования.

9. Дифференцирующее звено первого порядка (рис. 1.8,в) описывается урав­нением

,

где Т — постоянная времени.

10. Дифференцирующее звено второго порядка (рис. 1.8,г) описывается уравнением

.

Рис. 1.8

З а м е ч а н и е. Первые четыре звена называются элементарными, так

как они не могут быть представлены через другие звенья.