ЛЕКЦИЯ № 8
ТЕМА: Проективная геометрия. Вектор. Основные понятия. Действия с векторами.
План.
1. Основные понятие вектора.
2. Линейные операции с векторами.
3. Условие коллинеарности векторов.
4. Скалярное произведение векторов.
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Это площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.
Другие величины – сила, скорость, ускорение определяются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными. Их изображают в виде геометрических объектов – векторов.
Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Если 
– начало вектора, 
– его конец, то такой вектор обозначается как 
, или 
. Вектор 
с началом в точке и концом в точке называется противоположным вектору и обозначается как 
, или 
.
Длиной или модулем вектора называется длина отрезка 
и обозначается 
.
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается как 
. Считается, что он не имеет направления.
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором и обозначается как 
.
Векторы и 
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это обозначается как 
. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора считаются равными 
, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно своему направлению. Поэтому в дальнейшем будем считать, что все векторы имеют начало в точке 
начала координат. Тогда для обозначения вектора достаточно указать координаты его конца – точки . На рис.32 изображен вектор 
, на рис. 33 вектор 
.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Сложение векторов.
Пусть и два произвольных вектора. Переместим вектор таким образом, что бы его начало совпало с концом вектора , тогда вектор, начало которого совпадает с началом , конец – с концом вектора , называется суммой векторов и и обозначается как 
(рис. 34).Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Если у векторов и совместить начала и построить на их основе параллелограмм, то его диагональ, проходящая через это начало будет равна так же вектору (рис. 35). Это правило называется правилом параллелограмма. Разностью векторов и называется сумма векторов и 
(рис. 36). Таким образом, в параллелограмме, построенном на векторах и , одна диагональ будет равна сумме этих векторов, другая – их разностью (рис. 37). По свойству сторон и диагоналей параллелограмма справедлива формула
.
Произведением вектора на число 
называется вектор 
(или 
), который имеет длину 
, коллинеарен вектору и имеет то же направление, если 
и противоположное вектору , если 
. Таким образом, векторы и всегда коллинеарны.
Свойства линейных операций над векторами.
Для любых векторов и , чисел 
и 
справедливы следующие соотношения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Обозначим единичные векторы, направленные вдоль осей 
и 
соответственно через 
и 
. Тогда вектор 
может быть представлен в виде суммы векторов 
(рис. 38). Соответственно в пространстве верно равенство
.
Векторы 
называются ортами.
Длина вектора.
Пусть вектор 
в трехмерном пространстве имеет координаты 
. Тогда его длина равна длине отрезка 
, где точки и имеют координаты соответственно 
и и может быть вычислена по формуле
На плоскости вектор имеет длину 
.
Условие коллинеарности двух векторов.
Пусть ненулевые векторы 
и 
коллинеарны. Тогда 
, следовательно, 
. Отсюда
т. е. координаты векторов пропорциональны. Это и есть условие коллинеарности векторов и .