Способы составления дифференциальных уравнений движения систем

Введение в динамику сооружений

Основные понятия и виды динамических нагрузок

Динамика сооружений, являющаяся одним из разделов строительной механики, занимается разработкой принципов и методов расчета сооружений на действие динамических нагрузок, т. е. таких, величина, направление или положение которых изменяются во времени. При действии на сооружение динамических нагрузок возникают и играют существенную роль силы инерции масс этих нагрузок и самого сооружения.

Динамические нагрузки разделяются на следующие основные виды:

1) периодическая, создаваемая стационарными машинами и механизмами с движущимися частями, например электродвигателями, тур­богенераторами, станками и др. Нагрузки этого вида почти не зависят от свойств конструкций, на которые они действуют, но являются основным ис­точником колебаний этих конструкций;

2) импульсивная, создаваемая падающими грузами и падающими частями силовых установок (молотов, копров и др.). Эти нагрузки харак­теризуются небольшой продолжительностью действия и зависят от упругих и инерционных свойств конструкций, воспринимающих удар;

3) подвижная, положение которой в пролетах сооружения изме­няется во времени, например нагрузка от подвижного состава железных дорог, автомобилей, кранов и др.

Динамические нагрузки могут быть и комбинированными, например, импульсивно-периодическая от копров периодического действия. К динамическим нагрузкам относятся ветровая, от взрывной волны и сейсмическая, проявляющиеся в виде одного или ряда, иногда периодичес­ких, толчков.

Все динамические нагрузки вызывают колебания конструкций, на кото­рые они действуют,

Будем в основном рассматривать действие нагрузки в виде периоди­чески действующих сил, изменяющихся во времени по гармоническому закону, т. е. по закону синусоиды или косинусоиды.

 

Способы составления дифференциальных уравнений движения систем

 

Динамический расчет производится как для проверки сооружения на прочность, так и для определения величин динамических перемещений, скоростей и ускорений, которые при воздействии на людей и на некоторые виды оборудования, например на измерительные приборы, не должны превосходить допустимых пределов. Для решения задач динамики сооружений применяются два основных способа:

1) статический, основанный на применении уравнений динамического равновесия, которые отличаются от уравнений статического равновесия дополнительным учетом, согласно принципу Даламбера, сил инерции в виде произведения масс или их моментов инерции на ускорения, т. е. на вторые производные линейных или угловых перемещений по времени;

2) энергетический, основанный на применении закона сохра­нения энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энергии упругой системы является величиной постоянной во времени.

Трудоемкость динамического расчета той или иной упругой системы за­висит прежде всего от степени свободы этой системы, т. е. от числа независи­мых геометрических параметров, определяющих положение всех масс при любых возможных перемещениях системы в любой момент времени.

Следует иметь в виду, что в понятие степень свободы в динамике соору­жений вкладывается другой смысл, чем в статике сооружений. Подсчет степеней свободы при кинематическом анализе в статике сооружений произ­водится без учета собственных деформаций дисков и стержней, которые счи­таются абсолютно жесткими. В динамике же сооружений при определении степени свободы системы рассматриваются именно ее упругие или упруго- пластические деформации.

 

а) б)

 

Рис. 1

 

 

Так, например, показанная на рис. 1, а невесомая балка с одной точеч­ной массой m имеет одну степень свободы, так как положение этой массы определяется одним параметром у. Невесомая балка с тремя точечными массами, показанная на рис. 1, б, несмотря на бесконечное число воз­можных форм упругой линии, имеет только три степени свободы, так как положение трех масс т₁, т₂, т₃ определяется тремя прогибами y₁, у₂ и у₃ соответствующих точек балки.

Рама, изображенная на рис. 1, в, с тремя сосредоточенными массами имеет четыре степени свободы, так как положение каждой из масс т₁ и m ₂ характеризуется только ее горизонтальным перемещением, а положение массы m ₃ характеризуется уже двумя ее перемещениями — горизонтальным и вертикальным.

Если же учесть продольные деформации стержней, то раму, показанную на рис. 1, в, следует считать системой с шестью степенями свободы, так как массы т₁ и т₂ в этом случае могут иметь не только горизонтальные, но и вертикальные перемещения. Однако в большинстве случаев колебания масс, связанные с продольными деформациями стержней, можно не учиты­вать.

Абсолютно жесткая балка (рис. 1, г), могущая совершать перемещения, вращаясь вокруг неподвижной точки 0, является системой с одной степенью свободы, независимо от числа масс и упругих опор, так как положение всех масс определяется одним параметром — углом поворота α балки относитель­но центра 0.

Если массы рассматриваются не как точечные, то приходится учитывать инерцию их вращения, и тогда во всех рассмотренных примерах число степеней свободы оказывается большим, так как положение масс в этом случае определяется уже не только прогибами, но и углами поворотов.

Так, например, плоская система, показанная на рис. 1, в, будет в этом случае иметь семь степеней свободы.

Если учитывать собственную распределенную массу упругой системы, то степень свободы такой системы окажется уже равной бесконечности. Строго говоря, поскольку все сооружения имеют распределенную массу, они всегда являются системами со степенью свободы, равной бесконечности, однако во многих случаях удается свести рас­чет таких систем к расчету систем с конечным числом или даже с одной степенью свободы.