Правила создания вектора (матрицы).

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 4

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1. 5

Работа с символьным пакетом инженерных расчетов MathCAD. Оформление документа, ввод и редактирование формул. 5

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2. 33

Вычислительные особенности MathСad. Операторы и математические функции. 33

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3. 49

Графические возможности пакета инженерных расчетов MathCAD. 49

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 4. 69

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.. 69

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5. 88

Численные методы решения нелинейных уравнений и оптимизация функций. 88

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6. 106

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ПАКЕТЕ ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТОВ MATHCAD.. 106

ВВЕДЕНИЕ

 

В последнее время большое развитие получило новое научное направление - компьютерная математика. Компьютерная математика – это совокупность методов и средств, обеспечивающих максимально комфортную и быструю подготовку алгоритмов и программ для решения математических задач любой сложности с высокой степенью визуализации всех этапов решения.

С целью автоматизации научно- технических расчетов и для математического моделирования природных явлений и технических устройств были разработаны программные системы компьютерной математики. Сейчас системы компьютерной математики представлены пакетами MathLab, MathCad, Mathematics, Maple, Statistics и др.

В сборнике рассматриваются работы по численным математическим методам, расширяющим и обобщающим классические аналитические методики решения задач математического анализа, алгебры и дифференциальных уравнений в MathCad-популярной системе компьютерной алгебры, ориентированной на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличающейся легкостью использования и применения для работы.

Лабораторный практикум включает в себя несколько вводных работ по пакету MathCad, знакомящих читателя с вводом-выводом информации, работе с переменными, операторами и функциями, оформлением MathCad-документов, графикой. Далее рассматриваются вопросы решения линейных и нелинейных уравнений и систем, задачи оптимизации и решения дифференциальных уравнений, аппроксимации и интерполяции функций, численного интегрирования, нахождения точечных и интервальных оценок параметров распределения, а также элементы программирования в MathCad. Описывается постановка задачи, численная схема ее решения, а также пример ее реализации в рамках пакета MathCad. В каждой работе представлены варианты заданий и контрольные вопросы, выполнение которых позволяет проверить степень усвоения материала.

Все перечисленные работы представлены в электронном варианте в виде гипертекста с интерактивными элементами. Web-формат предоставляет возможности для гибкого подхода к содержанию предлагаемых работ, когда можно варьировать объем и сложность предлагаемых заданий, а также вид отчетности. Одна часть задания носит методический характер и выполняется под руководством преподавателя, а другая часть задания содержит элементы исследования, требующего творческого подхода. Она предназначена для самостоятельной работы и предполагает подготовку итогового отчета.

 

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1

 

Работа с символьным пакетом инженерных расчетов MathCAD. Оформление документа, ввод и редактирование формул

 

Цель работы: изучение вычислительных возможностей символьного пакета MathCAD для научных и инженерных расчетов. Приобретение навыков работы с документом MathCAD.

 

Теоретические сведения

 

Элементы интерфейса и организация документа. MathCAD является уникальной системой для работы с формулами, числами, текстами и графиками. Он так же гибок, как самые мощные электронные таблицы и языки программирования, но легок в освоении и приятен в использовании.

Рассмотрим основные элементы интерфейса MathCAD. Запуск пакета производится двойным щелчком по пиктограмме MathCAD на рабочем столе или активизацией соответствующей опции главного меню (Пуск → Программы → MathSoft Apps → MathCAD). При этом разворачивается окно приложения. Это окно содержит окно документа с именем Untitled:1, через него осуществляется доступ к рабочему документу MathCAD.

Формулы могут размещаться в любом месте рабочего документа MathCAD. Чтобы подвести курсор к нужному месту, не видимому в настоящий момент в окне, можно использовать полосы прокрутки, как в любой программе Windows. Подобно другим программам Windows, MathCAD содержит полосу меню. Ниже полосы меню расположена панель инструментов. Многие команды меню можно быстро вызвать, нажав кнопку на панели инструментов. Для того чтобы узнать, что делает кнопка, достаточно указать на нее, и появится строка сообщения. Если активизировать кнопку не нужно, то достаточно убрать с неё указатель, не отпуская кнопки мыши. Если указатель остановлен на кнопке, появляется текст, описывающий действие кнопки.

Прямо под панелью инструментов располагается панель шрифтов. Она содержит выпадающие меню выбора и кнопки, используемые для задания характеристик шрифтов в уравнениях и тексте. Для вставки операторов, греческих букв, графиков и т.п. служат кнопки палитры математика (рис. 1.1).

В целях экономии места на экране каждая из этих компонент может быть выведена на экран либо скрыта с помощью соответствующей команды меню Вид (View). Как правило, регулярно используются палитра вычислений (рис. 1.2), а также палитры матрицы и матанализ (рис. 1.3).

 

 

Рис. 1.1. Палитра математика Рис. 1.2. Палитра вычислений

 

Рис. 1.3. Палитры матрицы и матанализ

 

Рассмотрим аспекты управления рабочим документом. Чтобы открыть ранее существующий рабочий документ, нужно выбрать пункт Открыть (Open) из меню Файл. MathCAD запросит имя файла. В самом низу меню Файл MathCAD ведет список файлов, открывшихся последними. Выбор имени файла из этого списка сразу открывает файл. В меню Файл есть два пункта, касающиеся сохранения файлов: Сохранить (Save), Сохранить как (Save As). Для записи рабочего документа, ранее никогда не сохраняющегося, можно выбрать любой из них, в результате чего появится диалоговое окно Сохранить как (Save As), в котором можно набрать имя файла. Для перезаписи исходного рабочего документа (его изменённой версии) нужно выбрать пункт Сохранить (Save) или нажать комбинацию клавиш [Ctrl+S], в результате чего MathCAD уничтожает исходную копию рабочего документа и записывает новую копию, показываемую в рабочем окне. Хотя MathCAD предназначен для сложных, математических вычислений, его можно использовать как калькулятор. Для этого:

 

1. Щелкните в любом месте рабочего документа, появится небольшой крестик. Весь ввод с клавиатуры будет размещаться теперь в рабочем документе, начиная с места расположения крестика.

2. Напечатайте . После набора знака = MathCAD вычисляет выражение и выводит результат.

Этот пример демонстрирует особенности работы с MathCAD.

· MathCAD отображает формулы в точности в том виде, как их печатают в книгах или пишут на доске – по всей площади экрана; подбирает размеры для дробных черт, скобок и других математических символов, чтобы они выглядели так, как их обычно пишут на бумаге.

· MathCAD понимает, какую операцию выполнять первой. После ввода знака равенства = MathCAD показывает результат.

· После ввода оператора MathCAD показывает небольшой прямоугольник, называемый полем ввода. Поле ввода содержит места для ввода чисел и выражений.

Выражение на экране можно редактировать, устанавливая в нужном месте указатель и удаляя старые или вводя новые символы, цифры или операторы.

В пакете MathCAD можно оперировать переменными и функциями. При помощи переменных и функций становится возможным связь уравнений и использование промежуточных результатов в дальнейших вычислениях.

Правила определения переменных.

· Введите имя переменной, которую нужно определить.

· Введите двоеточие (:), чтобы ввести символ присваивания (MathCAD выводит символ присваивания :=).

· Введите значение, присваиваемое переменной. Оно может содержать числовые константы и любые, ранее определенные переменные и функции, выражение.

Слева от знака := могут стоять:

· имя простой переменной, например x 2;

· имя переменной с нижними индексами – элемент массива;

· матрица с элементами, являющимися простыми переменными или переменными с нижними индексами;

· имя функции со списком аргументов, состоящих из имен простых переменных, например ;

· имя переменной с верхним индексом – элемент вектора.

Заметим, что вводимые символы в MathCAD не всегда соответствуют отображаемым в рабочем документе.

 

Пример 1.1. Задание переменных.

 

MathCAD читает рабочий документ сверху вниз и слева направо. Определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде ниже и правее области, в которой она определена. Попробуйте задать переменную сами, используя следующий алгоритм.

· наберите имя переменной, например ;

· напечатайте символ: (двоеточие). В рабочем документе появится знак присваивания (:=)

· напечатайте значение, которое вы присваиваете переменной , например 11

· наберите 9/2 [space]*t^2=

Здесь: [space] – клавиша пробела; символ ^ означает возведение в степень, * – знак умножения, а наклонная черта вправо (/) – деление.

После ввода знака = MathCAD возвращает результат. Окно рабочего документа содержит одно определение, которое определяет переменную, и одно вычисление, которое дает результат. MathCAD пересчитывает результаты сразу после внесения любых изменений в рабочий документ. Если заменить, например, число 11 в примере на какое-либо другое, MathCAD изменит результат, как только будет введен [Enter], или Вы щелкнете мышью вне формулы. Пересчет формул можно произвести нажатием F9.

Переменные могут быть определены в одном и том же рабочем документе неоднократно, например, дважды. MathCAD будет просто использовать первое определение для всех выражений ниже первого определения и выше второго. В выражениях, находящихся ниже второго определения, MathCAD использует второе определение. Хотя таких переопределений следует избегать.

MathCAD может выполнять повторяющиеся или итерационные вычисления и вычисления отдельных выражений. Для этого MathCAD использует специальный тип переменных – дискретные аргументы. Переменная типа дискретный аргумент принимает диапазон значений. Если в выражении присутствует дискретный аргумент, то MathCAD вычисляет выражение столько раз, сколько значений содержит дискретный аргумент. Итак, для определения дискретного аргумента должны быть заданы:

· имя переменной слева;

· или := или в середине;

· допустимый диапазон справа.

Для того чтобы вычислить выражение для диапазона значений, сначала определите дискретный аргумент.

· напечатайте j и затем нажмите клавишу двоеточия:. Пустое поле означает, что MathCAD ожидает определение для j, не зная, будет ли j обычной переменной или дискретным аргументом.

· Напечатайте 1. Затем нажмите клавишу точку с запятой;. Это сообщает MathCAD, что определяется дискретный аргумент. MathCAD показывает; как две точки, что означает диапазон. Завершите определение дискретного аргумента, печатая 15 в оставшемся поле. Это определение указывает, что j принимает значения 1, 2.. 15.

Чтобы определить дискретный аргумент с шагом, отличным от единицы, нужно сделать следующее:

· напечатать k: 1, 1.5; 15

· На экране это будет выглядеть как k:= 1, 1.5.. 15.

 

В этом определении диапазона:

· переменная k – имя дискретного аргумента. Это должно быть простое имя

· число 1 – первое значение переменной k

· число 1.5 – второе значение в диапазоне. Это не размер шага. Размер шага в этом примере 0.5 – разница между 1.5 и 1

· число 15 – последнее значение в диапазоне. Если третье число в определении диапазона не равно целому числу приращений начального значения, аргумент все равно не выйдет за его пределы.

Можно использовать произвольные скалярные выражения вместо 1, 1.5 и 15, но эти значения должны быть всегда числовыми. Если только дискретный аргумент определен, он принимает полный диапазон значений каждый раз, когда он используется.

Нельзя определить простую переменную через дискретный аргумент. Например, если определив j, теперь записать , то MathCAD истолкует это как попытку приравнять скалярную переменную дискретному аргументу и отметит уравнение сообщением “ нескалярная величина ”. Если дискретный аргумент используется в выражении, MathCAD вычисляет выражение один раз для каждого значения дискретного аргумента. Этот принцип выражает различие между выражениями с дискретным аргументом и без него. Выражения, которые не содержат дискретный аргумент, имеют только одно значение. Выражения, содержащие дискретные аргументы, принимают много значений, которые соответствуют каждому значению каждого аргумента.

 

Пример 1.2. Определение дискретного аргумента.

Определение функции аналогично определению переменной. Имя функции должно стоять слева, знак присваивания := посередине, а выражение – справа. Основное различие состоит в том, что имя теперь включает список аргументов.

 

 

Для задания функции необходимо:

· ввести имя функции, например ;

· ввести левую скобку, а вслед за ней – имя или список имен, разделенных запятой. Для завершения списка аргументов нужно ввести правую скобку. Не имеет значения, были ранее определены или использованы в рабочем документе имена из списка аргументов. Важно только, чтобы эти аргументы были именами, а не более сложными выражениями;

· ввести: для оператора присваивания :=;

· набрать выражение, задающее функцию. Оно может содержать любые ранее определенные функции и переменные, включая аргументы функции.

Определенная таким образом функция может быть использована везде ниже определения, также как используются переменные.

При использовании функции в выражении MathCAD:

· вычисляет значения аргументов, указанных в скобках;

· заменяет формальные параметры (аргументы в определении функции) фактическими значениями аргументов, указанных в скобках;

· выполняет вычисления, предписанные определением функции, и возвращает результат вычислений как значение функции.

 

Пример 1.3. Задание функций.

 

 

Если в определении функции используется имя переменной, которой нет в списке аргументов, то оно должно быть определено прежде определения функции. Значение этой переменной в момент ввода определения функции становится постоянной частью функции.

Каким образом строятся математические выражения в MathCAD? Многие математические выражения можно создавать, просто вводя последовательность символов и знаков математических операций. Часть символов – буквы и цифры – служат для ввода чисел и имен функций и переменных, другие символы – для создания операторов. Можно набрать многие из этих операторов, нажимая соответствующие кнопки на различных палитрах операторов. Например, арифметическую палитру можно открыть, нажав кнопку с изображением калькулятора. Математические выражения имеют строго определенную структуру, и редактор формул MathCAD разработан с учетом этого. MathCAD собирает различные части выражения, используя приоритет операций и некоторые дополнительные правила, которые упрощают ввод знаменателей, показателей степени и выражений в радикалах. Например, если набрать / чтобы создать дробь, курсор будет оставаться в знаменателе, пока ему явно не указать, чтобы он покинул знаменатель, щелкнув мышью вне знаменателя, нажав [Space] или используя клавиши курсора. Говорят, что в этом случае операторы являются “ цепкими ”. Операции деления, возведения в степень и извлечение корня в MathCAD – “цепкие” операции, т.е. после создания одной из этих операций, все затем печатаемое будет частью знаменателя, показателя степени или подкоренного выражения, пока явно не переместить курсор, нажимая [Space], клавиши курсора или с помощью мыши. Чтобы покинуть выражение, можно:

· щёлкнуть снаружи выражения мышью;

· нажать клавишу ввода [ Enter ].

Правила редактирования существующего выражения. Чтобы отредактировать имя или число:

· щелкните на нем – это поместит маркер ввода в нужное место;

· при необходимости нажмите клавиши управления курсором, чтобы переместить маркер;

· если напечатать символ, он появится слева от маркера ввода. Нажатие клавиши [Backspace ] удаляет символ слева от маркера ввода.

Для замены оператора:

· щелкните на знаке мышью или используйте клавиши курсора;

· нажмите клавишу [ Del ] или клавишу [ Backspace ]. Повторное нажатие удаляет все выражение;

· нажмите другой знак.

 

Вставка оператора. Проще вставить оператор между двумя буквами или цифрами, стоящими рядом. Например, чтобы вставить знак деления между двумя символами, стоящими рядом, нужно:

· вставить маркер ввода между ними;

· нажать знак деления /.

Столь же просто вставлять операторы, которые требуют только одного операнда. Примеры таких операндов – квадратный корень, модуль и комплексное сопряжение. Чтобы вставить один из них, выделите все выражение, к которому нужно применить оператор и наберите соответствующую комбинацию клавиш. Многие из этих операторов также доступны на арифметической палитре.

 

Удаление оператора. Можно удалить оператор, соединяющий два имени переменных или две константы, а также операторы, требующие только одного операнда:

· поместите маркер ввода после оператора;

· нажмите [Backspace].

Или

· поместите маркер ввода перед оператором;

· нажмите [Del].

 

Чтобы удалить оператор, который имеет только один операнд типа охватите оператор маркером ввода:

· нажмите [Del] или [Backspace].

Чтобы вычислить выражение, можно:

· ввести выражение, содержащее любую допустимую комбинацию чисел, переменных и функций, включая знаки операций и скобки. Любые переменные или функции, используемые в этом выражении, должны быть определены в рабочем документе;

· нажать клавишу =.

Прерывание вычислений. Для того чтобы прервать процесс вычислений, нажмите клавишу [Esc]. После появления диалогового окна нужно щелкнуть по кнопке OK, для остановки процесса вычислений или по кнопке “ отмена ” для его продолжения.

 

Сообщение об ошибках. Определив выражение, вызвавшее ошибку, нужно его отредактировать с целью устранения ошибки или исправить определение переменной, приведшей к ошибке. После щелчка по выражению и начала редактирования MathCAD удаляет сообщение об ошибке. После щелчка вне уравнения (или нажатия клавиши [ F9 ]), MathCAD повторно вычисляет выражение. Если ошибка устранена, то MathCAD затем повторно вычисляет другие выражения, зависящие от измененного.

Выражение, отмеченное сообщением об ошибке, не обязательно содержит ее причину. Причиной ошибки могут быть функции или переменные, определенные в рабочем документе значительно ранее. Для устранения ошибки придется отредактировать именно ее.

Рассмотрим допустимые в MathCAD имена переменных и функций. Имена в MathCAD могут содержать любые из следующих символов:

· прописные и строчные латинские буквы;

· цифры от 0 до 9;

· знак подчеркивания _;

· штрих ` Это не апостроф. Находится на одной клавише с тильдой ~;

· символ процента %;

· греческие буквы. Есть два способа набрать греческую букву: напечатать римский эквивалент и нажать [Ctrl]+G или щелкнуть по соответствующему символу на палитре греческих символов;

· символ бесконечности, который можно задать как комбинацию клавиш [Сtrl]+[shift]+Z;

· Имена переменных и функций не могут включать пробелы или любые другие символы, не перечисленные выше.

Ограничения:

· имя не может начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха или %;

· бесконечность может быть только первым символом в имени;

· любые символы, напечатанные после точки, будут записаны как нижний индекс.

MathCAD не делает различий между именами переменных и именами функций. Если определить вначале , а затем переменную , окажется невозможным использовать где-либо ниже определения некоторые имена уже используются MathCAD для встроенных констант, единиц измерения и функций. Хотя эти имена можно переопределить, этот уничтожит их встроенные значения.

MathCAD различает в именах символы верхнего и нижнего регистра, а также различные шрифты.

Кроме того, среда MathCAD включает так называемые предопределенные переменные. MathCAD содержит 8 переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Они называются встроенными или предопределенными. Эти переменные имеют или общепринятое значение (например, или ), или используются как внутренние переменные, управляющие работой MathCAD. Эти переменные можно переопределять, например, определим . Ниже этого определения переменная примет в рабочем документе новое значение.

 

Приведем примеры некоторых встроенных переменных:

· число Пи;

· – основание натурального логарифма;

· ^ – машинная бесконечность;

· – процент.

MathCAD интерпретирует все, начинающееся цифрой, как число. Цифра может сопровождаться:

· другими цифрами;

· десятичной точкой;

· цифрами после десятичной точки;

· символами h или o для шеснадцатеричных и восьмеричных чисел; символами i или j для комплексных чисел. Комплексные числа MathCAD воспринимает в форме (или ).

Специальные функции и операторы для работы с комплексными числами:

· – вещественная часть числа ;

· – мнимая часть числа ;

· – аргумент числа (угол в комплексной плоскости между вещественной осью и радиус - вектором, определяемым числом );

· – модуль числа .

Одиночное число в MathCAD называют скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел  матрицей. Способы создания массива:

· заполнить массив пустых полей;

· использовать дискретный аргумент.

Можно различать имена векторов, матриц и скаляров, используя различный шрифт для их описания.

Правила создания вектора (матрицы).

· Щелкните в свободном месте рабочего документа и напечатайте имя вектора или матрицы , сопровождаемое символом двоеточия:;

· выберите матрицы из меню Вставка (Insert) или нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+m или щёлкните мышью на соответствующей палитре. Появится диалоговое окно, где Rows – количество строк, а Columns – количество столбцов;

· нажмите Ok. MathCAD создает вектор (матрицу) с пустыми полями для заполнения. Заполните эти поля скалярными выражениями.

Можно теперь использовать имя вектора (матрицы) в любом выражении. Имя вектора (матрицы) и сам вектор (матрица) взаимозаменяемы. Как только вектор определен, можно определить через него другие вектора. Можно обращаться к отдельным элементам массива, используя нижние и верхние индексы. Чтобы напечатать нижний индекс, используйте клавишу нижней скобки [. Чтобы вставить оператор верхнего индекса, нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+6. Нижние индексы, подобно делению и возведению в степень, удерживают ввод. Что бы не печаталось после [ все остается в нижнем индексе, пока не будет нажат пробел, чтобы выйти оттуда. Когда определены элементы вектора (матрицы), часть из них можно оставить неопределенными. Если был не определен и третий элемент вектора определяется равным 10, то нулевой, первый и второй элементы не определены. MathCAD заполняет эти элементы нулями, пока в них не будут внесены необходимые значения

 

Пример 1.4. Определение и просмотр элементов матрицы (вектора).

 

 

Можно создавать большие массивы, задавая диапазон изменения нижних индексов. Если массив имеет более чем 9 строк или столбцов, MathCAD автоматически отображает его в виде таблицы вывода с полосами прокрутки.

Векторные и матричные операторы. Некоторые из операторов MathCAD имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения означает просто умножение, когда применяется к двум числам, но он же означает скалярное произведение, когда применяется к векторам и умножение матриц, когда применяется к матрицам. Многие из этих операторов доступны из палитры символов. Обратите внимание, что операторы, которые ожидают в качестве аргумента вектор, всегда ожидают вектор-столбец, а не вектор-строку. MathCAD располагает встроенными операциями над векторами и матрицами.

Пример 1.5. Векторные и матричные функции.

 

Решение матричных уравнений. Матричные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений и решаются путем обращения матрицы коэффициентов .

Кроме того, в MathCAD есть также функция lsolve, позволяющая решать систему уравнений в случае невырожденной матрицы .

 

Пример 1.6. Решение системы линейных уравнений.

 

Порядок выполнения работы

(включая пример и варианты заданий)

Студентам рекомендуется внимательно изучить теоретические сведения, разобрать приведенные там примеры, затем приступить к выполнению поставленного задания.

Тестовый пример:

1) Попробуем набрать следующее выражение

и вычислим его значение для , , . В первую очередь зададим значения переменных, входящих в состав данного выражения.

Напечатайте . Затем наберите .

До сих пор правила старшинства позволяли нам просто печатать символы подряд, дальше так продолжать нельзя, так как маркер ввода находится на двойке, и двойка станет числителем, если нажать /. Чтобы все выражение стало числителем, нажмите три раза клавишу [space]. Маркер ввода охватит выражение целиком. Можно поэкспериментировать с другими клавишами курсора, можно щелкать мышью на других частях выражения. Прежде чем перейти к следующему шагу, убедитесь, что маркер ввода охватывает все выражение.

Нажмите / чтобы создать дробную черту напечатайте + и щелкните на кнопке корня на арифметической палитре. Затем напечатайте y + 1, чтобы завершить знаменатель. Чтобы добавить что-либо снаружи корня нажмите дважды клавишу [ Space ] (пробел). Чтобы вычислить значение данного выражения нажмите клавишу =.

2.

2.1.

2.2.

2.3. наберите

2.4. наберите [ Space]

2.5. наберите

Чтобы увидеть все элементы данного вектора, используя полосы прокрутки, щелкните мышью по получившейся таблице вывода.

 

3. Выполните вычисления по приведенным ниже формулам.

3.1. Используя переменную типа “дискретный аргумент”, задайте элементы вектора.

3.2. Ввести с клавиатуры вектора матрицы . Вычислить: , , сумму элементов данных векторов,

.

3.3. Наберите A: ищелкните мышью на палитре матричных операторов. Заполните поля диалогового окна и нажмите клавишу OK. Затем заполните пустые поля матрицы скалярными выражениями. Аналогично задайте матрицу B и вектора .

Проведите необходимые вычисления, используя палитру матриц и векторов.

 

Содержание отчета

 

1. Краткий обзор по теоретической части.

2. Ответы на контрольные вопросы.

3. Файл MathCAD с выполненными заданиями своего варианта.

 

Контрольные вопросы

 

1. Опишите палитры символов.

2. Особенности работы с пакетом инженерных расчетов MathCAD.

3. Как определить переменную в пакете MathCAD? Приведите примеры.

4. Переменная типа “ дискретный аргумент “. Примеры.

5. Как в MathCAD определяется функция? Приведите примеры определения функции.

6. Построение выражения в MathCAD. Цепкие операторы.

7. Редактирование существующего выражения: замена, вставка, удаление оператора; вычисление выражения.

8. Сообщения об ошибках в пакете MathCAD. Исправление ошибок.

9. Допустимые в MathCAD имена переменных и функций. Предопределенные переменные. Числа.

10. Создание вектора (матрицы). Примеры.

11. Векторные и матричные операции (функции). Примеры.

 

Варианты заданий

 

Вариант 1

1. Вычислить , где ; ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , ., матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

Вариант 2

1. Вычислить , где ; ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 3

1. Вычислить , где ; ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 4

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 5

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 6

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов и ;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 7

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 8

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 9

1. Вычислить , где ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

 

Вариант 10

1. Вычислить , где ; ; .

2. Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3. Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов и ;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 2

 

Вычислительные особенности MathСad. Операторы и математические функции

 

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей символьного пакета MathСad для научных и инженерных расчетов. Приобретение навыков работы с основными панелями инструментов.

Используемые программные средства: MathСad.

 

Теоретические сведения

 

В MathСad используются арифметические операторы, подобные операторам сложения и вычитания, умножения и деления, а также операторы, определенные для матриц и специальные операторы типа вычисления интегралов и производных. Операторы можно вводить, используя комбинации клавиш или палитры операторов. Пиктограммы на кнопках палитры оператора указывают, какой оператор появляется при нажатии на данную кнопку. При задержке указателя мыши над кнопкой появляется надпись, указывающая назначение этой кнопки. Чтобы вставить оператор из палитры, укажите мышью, где необходимо поместить оператор, затем нажмите на кнопку необходимого оператора на соответствующей палитре.

 

Операторы вычисления сумм и произведений. Оператор суммирования вычисляет сумму выражений по всем значениям индекса. Оператор произведения работает аналогичным образом. Чтобы создать оператор суммирования в рабочем документе:

1. Щелкните в свободном месте рабочего документа.

2. Затем нажмите комбинацию [Ctrl]+[Shift]+4 или соответствующую кнопку на палитре 3. интегралов и производных.В нижнем поле слева от знака равенства введите имя переменной. Эта переменная – индекс суммирования. Она определена только внутри оператора суммирования, вне оператора может существовать другая переменная с тем же индексом.

3. В поле справа от знака равенства, а также над знаком суммы введите целое число или любое выражение, принимающее целое значение.

4. В оставшемся поле введите выражение, которое необходимо просуммировать. Это выражение будет содержать индекс суммирования. Если это выражение имеет несколько членов, используйте скобки ().

Для создания оператора произведения нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+[Shift]+3 или щелкните мышью на соответствующей кнопке палитры интегралов (матанализ). Далее применяйте правило, описанное выше. Если индекс суммирования изменяется не с шагом равным единице, то используется обобщенный оператор суммы – обобщенный оператор произведения.

1. Напечатайте i: 1, 1.2; 10

2. Щелкните на свободном месте рабочего документа. Нажмите комбинацию клавиш [Shift]+4 (или [Shift]+3).

3. Щелкните на поле снизу и введите имя дискретного аргумента, который должен быть определен раньше.

4. Щелкните на поле справа от знака суммирования (знака произведения) и внесите выражение, содержащее дискретный аргумент.

5. Нажмите знак равенства, чтобы увидеть результат.

 

Пример 2.1. Вычисление сумм и произведений:

 

Численное дифференцирование. Оператор производной MathСAD предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке. Сначала определите точку , в которой необходимо найти производную.

1. Щелкните ниже определения . Затем наберите знак «?» или щелкните мышью по соответствующей кнопке палитры интегралов и производных. Появляется оператор производной с двумя полями.

2. Щелкните на поле в знаменателе и наберите . Это имя переменной, по которой производится дифференцирование.

3. Щелкните на поле справа от знака производной и наберите какое-либо выражение, которое нужно дифференцировать.

4. Нажмите знак равенства, чтобы увидеть результат.

5. Чтобы вычислить производную в символьном виде:

6. Наберите знак «?» или [Ctrl]+?, чтобы задать оператор производной более высокого порядка.

7. В поле оператора введите выражение, которое необходимо продифференцировать.

8. Охватите все выражение маркером ввода

9. Нажмите комбинацию клавиш [Shift]+F9 или используйте меню Символы (Symbolics), команда Расчеты (Evaluate).

Для дифференцирования выражении, можно также использовать команду Дифференцировать по переменной из меню Символы.

Например, чтобы продифференцировать выражение по переменной , необходимо

· выделить переменную ;

· выбрать команду Дифференцировать по переменной. При этом MathСAD рассматривает все переменные, за исключением выделенной, как константы.

 

Пример 2.2. Дифференцирование выражений:

Символьное дифференцирование. С помощью встроенного оператора дифференцирования и оператора символьного равенства вычислим частные производные функции двух переменных первого и второго порядка.

Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics / Variable /Differentiate (Символика/Переменная/Дифференцировать) (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Символьное дифференцирование

В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.

Пакет MathСAD позволяет также вычислять частные производные функций нескольких переменных.

Пример 2.3. Вычисление частных производных функции двух переменных: