Интегральная формула Коши и ее применение.

Здесь будет доказана одна из центральных теорем теории функций комплексной переменной. Используя теорему Коши, можно установить связь между значениями аналитической функции в любой внутренней точке области со значениями этой функции на контуре, охватывающем эту точку.

Теорема 6. Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, точка z₀ внутренняя точка области D, C - замкнутый контур, целиком лежащий в D и содержащий внутри себя точку z_0. Тогда справедлива формула:

. (4)

Интеграл, стоящий в правой части называется интегралом типа Коши, а выражение (4) – интегральной формулой Коши.

D

С

Рис.8.

□ Рассмотрим окружность с центром в точке z₀, целиком лежащую в D. Между контурами C и C_R функция аналитическая и по следствию к теореме 4 выполняется равенство:

.

Интеграл в левой части не зависит от радиуса R, тогда и в правой части интеграл также не зависит от радиуса. Теперь можно записать:

.

Последнее равенство справедливо в силу непрерывности функции f(z). Если теперь разделить обе части на , получим формулу (4). ■

Замечание 1. Теорема будет справедлива и для многосвязной области, если f(z) непрерывна в замыкании , где С - граница многосвязной области.

Замечание 2. Интегральную формулу (4) можно использовать для вычисления интегралов по замкнутому контуру, а именно:

если ;

если .

Пример 5. Вычислить интеграл: .

Решение.

В интеграле Коши интегрирование выполняется по переменной z, тогда z₀ является параметром в этом интеграле, т.е. интеграл Коши это интеграл, зависящий от параметра.

Теорема 7 (дифференцирование интеграла по параметру). Пусть выполняются условия:

1) L - кусочно-гладкая кривая и ;

2) точка принадлежит области D;

3) функция и являются непрерывными функциями по совокупности переменных;

4) функция при является аналитической в области D.

Тогда функция является аналитической в области D и её производная представляется в виде:

.

□ Введем скалярные обозначения: Рассмотрим криволинейные интегралы:

По условию теоремы 3, функции u,v обладают частными производными по x,y,непрерывными по совокупности переменных, поэтому частные производные функции U(x,y) и V(x,y) существуют по переменным x,y и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Тогда получим:

, .

Производные являются непрерывными функциями по x,y в D. Используя условие Коши-Римана для функции получим:

.

Таким образом, для действительной и мнимой частей функции выполняются условия Коши-Римана, следовательно, она является аналитической. Кроме того,

.

Объединяя два интеграла, получим производную: . ■

Интеграл Коши устанавливает зависимость между значением аналитической в D функции f(z) в точке c значениями этой функции на контуре, охватывающем точку причем f(z) на контуре может быть не аналитической, а только непрерывной. Поэтому естественно поставить вопрос об изучении свойств функции

(5)

где L непрерывная кусочно-гладкая (не обязательно замкнутая) кривая, f(ζ) непрерывна на кривой, а

Функция параметра z, определенная соотношением (5), называется интегралом типа Коши.

Теорема 8. Если функция f(z) аналитическая в области D и непрерывна на кусочно-гладкой кривой L, то функция также является аналитической в D, не содержащей точек кривой L и справедлива формула:

. (6)

Более того, у функции в области D существуют производные любого порядка, определяемые по формуле

(7)

□ Рассмотрим вспомогательные функции: , k=1,2.3… Эти функции непрерывны всюду, кроме точек кривой L, т.е. для них выполняются все условия теоремы 7, согласно которой для k=1 можно записать:

Продолжая дифференцировать по индукции, получим формулу (7). ■

Так как формула Коши

где , является частным случаем интеграла типа Коши, то из теоремы вытекает важное для всей теории аналитических функций следствие.

Следствие. Если функция f(z) аналитическая в области D, то она имеет в этой области производную любого порядка, которые являются также аналитическими функциями в этой области и определяются равенствами:

(8)

Эта формула справедлива, если в равенстве (7) в качестве Ф(z) взять f(z), а интегрирование выполнить по замкнутому контуру С, целиком лежащем в D и содержащем внутри себя точку z. Из (8) можно получить еще одну формулу вычисления контурных интегралов:

;

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.