Кусочно-гладкую кривую, не имеющую точек самопересечения, будем называть замкнутым контуром и обозначать С. За положительный обход примем такой обход контура, когда область остается слева от направления движения. Можно получить условия независимости от формы пути интегрирования интеграла от функции комплексной переменой. Оказывается, что если функция f(z) непрерывна и области D, то необходимым и достаточным условием независимости интеграла 
от формы пути L является аналитичность функции f(z) в области D. Сначала докажем достаточность (теоремы Коши), а в дальнейшем необходимость (теорема Морера).
Теорема 2. (теорема Коши для односвязной области). Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, тогда интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в D, будет равен нулю, т.е. 
.
□ По условию теоремы 1 интеграл существует, т.к. функция f(z) аналитическая и ее действительная и мнимая части непрерывны и дифференцируемы в области D, а сам интеграл можно записать: 
. (3)
Воспользуемся формулой Грина: 
, тогда учитывая условия Коши-Римана 
, 
, получим
Аналогично получим, что 
и из (3) следует, что интеграл от аналитической функции комплексной переменной равен нулю. ■
Теорема 3. (вторая формулировка теоремы Коши). Пусть функция f(z) аналитическая в односвязной области D, границы которой является контур C и непрерывна в замыкании: 
,тогда 
.
Теорема 4. (теорема Коши для многосвязной области) Пусть функция f(z) аналитическая в многосвязной области D, ограниченной внешним контуром С и внутренними контурами С1,С2,…Сn и непрерывна в замкнутой области 
,тогда интеграл по внешней границе 
, проходимой в положительном направлении равен сумме интегралов по внутренним границам С1,С2,…Сn
причем все интегралы проходятся против часовой стрелки.
□ Соединим внутренние контуры Ск с внешним контуром С0 кусочно-гладкими кривыми 
. Пусть кривые 
обходятся дважды: от контура С0 , потом к нему. В этом случае интеграл по общей границе области 
по теореме Коши будет равен нулю, т.к. область D можно рассматривать как односвязную с разрезами по кривым 
.
Рис.4.
Тогда
По свойству ориентированности интегралы по 
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, следовательно, их сумма равна нулю, а у интегралов по внутренним контурам изменим ориентацию
и в итоге получаем: 
Следствие. Если функция f(z) аналитическая в двусвязной области D, ограниченной контурами С1 и С2, то 
. Другими словами, контуры интегрирования можно как угодно деформировать не выходя за пределы области аналитичности функции.
С С1
С
Рис.5.
Замечание 1. Если область не односвязная, то интеграл не по любому контуру равен нулю.
Пример 4. Задана область D - кольцо: 
и функция 
. Найти интеграл по окружности 
.
Решение. 
, при этом функция в области 
является аналитической.
Рис.6.
По кривой 
интеграл будет равен нулю, а по обхватывающей окружности 
не будет равен нулю.
| y |
z
|
|
| x |
| O |
На рисунке 7 контур 
будет замкнутым. По теореме Коши
Отсюда имеем 
.
Получили, что интеграл не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Поэтому, если z0 фиксированная точка, z переменная точка, то можно записать 
, где F(z)- функция переменного верхнего предела.
Теорема 5. Если функция f(z) определена и непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому контуру, целиком лежащем в D равен нулю, то функция 
является аналитической в D, причем 
.
□ Запишем разностное отношение: 
Найдем оценку следующего выражения: 
Т.к. f(z) непрерывна в области D, то 
>0 
>0, если при 
< 
: 
<ε.Это будет выполняться 
. В результате получаем, что 
>0 
>0, если 
< 
, то 
<ε
Последнее неравенство означает, что 
. ■
Определение 2. Аналитическая функция 
называется первообразной функции 
в области D, если 
Множество всех первообразных функций f(z) называется неопределенным интегралом. Для интеграла от аналитической функции справедлива формула Ньютона-Лейбница: 
.
