Лекции.Орг


Поиск:




При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вариант 1

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра вы­ра­же­ний, зна­че­ния ко­то­рых по­ло­жи­тель­ны.

Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ния вы­ра­же­ний:

 

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое вы­ра­же­ние ука­за­но под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

2. Из­вест­но, что . Вы­бе­ри­те наи­боль­шее из чисел.

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку число от­ри­ца­тель­но, и . Число по­ло­жи­тель­но и боль­ше 1. По­это­му оно яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Упро­стим дробь:

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

4. Ре­ши­те урав­не­ние .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета — сумма кор­ней равна 5, а их про­из­ве­де­ние равно −14.

Тем самым, это числа −2 и 7.

Ответ: −2; 7.

Ответ: -2; 7

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1) 2) 3) 4)

 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1) урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх.

2) урав­не­ние пря­мой.

3) урав­не­ние верх­ней ветви па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во.

4) урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 14, 9, 4,... Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

 

 

По­это­му

 

Ответ: 414.

Ответ: 414

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

 

Модуль «Геометрия»

 

На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

 

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

9. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD , , , . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка равна 360°. Имеем: Так как , и — общая тре­уголь­ни­ка ABD и BDC. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что . Таким об­ра­зом, .

 

Ответ: 95.

Ответ: 95

10. Най­ди­те , если гра­дус­ные меры дуг и равны 112° и 170° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние.

Так как впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, имеем , а . В тре­уголь­ни­ке OKM, .

 

Ответ: 39.

Ответ: 39

11. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 60°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, делённую на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

 

Ответ: 30.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 30

12 На квад­рат­ной сетке изоб­ражён угол . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный. Таким об­ра­зом,

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 

1) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.

2) Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.

3) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

 

Модуль «Реальная математика»

 

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.» — не­вер­но, квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

2) «Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.» — верно, ост­ро­уголь­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник у ко­то­ро­го все углы мень­ше 90°.

4) «В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

 

Ответ: 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4

14 В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии уг­ле­во­дов муж­чи­ной можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки он по­треб­ля­ет 488 г уг­ле­во­дов?

1) По­треб­ле­ние в норме.
2) По­треб­ле­ние выше ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.
3) По­треб­ле­ние ниже ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.
4) В таб­ли­це не­до­ста­точ­но дан­ных.

Ре­ше­ние.

Су­точ­ная норма по­треб­ле­ния уг­ле­во­дов муж­чи­ны лежит в пре­де­лах 257−586 г. По­треб­ле­ние 488 г жиров в сутки со­от­вет­ству­ет норме.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля из пунк­та в пункт и ав­то­бу­са из пунк­та в пункт . На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са?

Ре­ше­ние.

Ав­то­бус про­ехал 240 км за 5 часов. Таким об­ра­зом, его ско­рость равна 48 км/ч. Ав­то­мо­биль про­ехал это же рас­сто­я­ние за 3 часа со ско­ро­стью 80 км/ч. Таким об­ра­зом, ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са на 32 км/ч.

Ответ: 32

16. На мно­го­пред­мет­ной олим­пиа­де всех участ­ни­ков по­лу­чи­ли ди­пло­мы, осталь­ных участ­ни­ков были на­граж­де­ны по­хваль­ны­ми гра­мо­та­ми, а осталь­ные 144 че­ло­ве­ка по­лу­чи­ли сер­ти­фи­ка­ты об уча­стии. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

Ре­ше­ние.

Все участ­во­вав­шие в олим­пиа­де де­лят­ся на три груп­пы: участ­ни­ки, по­лу­чив­шие ди­пло­мы, участ­ни­ки, по­лу­чив­шие сер­те­фи­ка­ты, участ­ни­ки, по­лу­чив­шие по­хваль­ные гра­мо­ты. Из­вест­но что всех участ­ни­ков по­лу­чи­ли ди­пло­мы, сле­до­ва­тель­но, остав­ша­я­ся часть со­ста­ви­ла от об­ще­го числа участ­ни­ков. Из участ­ни­ков, по­лу­чив­ших ди­пло­мы, участ­ни­ков были на­граж­де­ны по­хваль­ны­ми гра­мо­та­ми, остав­ши­е­ся участ­ни­ков со­ста­ви­ли 144 че­ло­ве­ка. Пусть x — общее число участ­ни­ков, тогда:

 

 

Тем самым, в олим­пиа­де участ­во­вал 231 уча­щий­ся.

 

Ответ: 231.

Ответ: 231

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

Ре­ше­ние.

Найдём синус угла, на ко­то­рый под­ни­ма­ет­ся длин­ное плечо:

 

 

Угол подъ­ема длин­но­го плеча равен углу на ко­то­рый опу­стит­ся ко­рот­кое плечо. Пусть x — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стит­ся ко­рот­кое плечо, имеем:

 

 

Таким об­ра­зом, ко­рот­кое плечо опу­стит­ся на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18 На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ло­рус­сии и Укра­и­ны вме­сте.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей Лат­вии.

3) При­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше 3 мил­ли­о­нов.

В ответ за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Разъ­яс­ним каж­дый ва­ри­ант от­ве­та:

1) Оче­вид­но, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ло­рус­сии вме­сте.

2) Сек­тор «Укра­и­на» за­ни­ма­ет боль­шую пло­щадь диа­грам­мы, чем сек­тор «Дру­гие стра­ны», а т. к. «Лат­вия» вклю­че­на в «Дру­гие стра­ны», имеем: поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Лат­вии.

3) Сек­тор в две трети диа­грам­мы от­се­ка­ет­ся углом в 2·360°/3 = 240°. Оче­вид­но, что угол, от­се­ка­ю­щий сек­тор «Рос­сия» при­мер­но равен 240°, зна­чит при­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти всех поль­зо­ва­те­лей, зна­чит, мень­ше 12/4=3 мил­ли­о­нов.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность бла­го­при­ят­но­го слу­чая() — от­но­ше­ние ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. В дан­ной за­да­че бла­го­при­ят­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся старт спортс­ме­на не из Рос­сии под но­ме­ром 1. Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 2 + 5 = 7, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 13 + 2 + 5 = 20. От­но­ше­ние со­от­вет­ствен­но равно

 

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. Пло­щадь тра­пе­ции можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где — ос­но­ва­ния тра­пе­ции, — вы­со­та (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те вы­со­ту , если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны и , а её пло­щадь . Часть 2

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим вы­со­ту тра­пе­ции из фор­му­лы пло­ща­ди:

 

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

 

Ответ: 4.

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

 

 

Ответ: 4

21. Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли .

Ре­ше­ние.

Имеем:

 

.

 


Ответ: .

22. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый опе­ра­тор может вы­пол­нить дан­ную ра­бо­ту за часов, а вто­рой за часов. За один час пер­вый опе­ра­тор вы­пол­ня­ет часть всей ра­бо­ты, а вто­рой . Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:


 

 

 


Ответ: пер­вый опе­ра­тор за 12 ч, вто­рой опе­ра­тор за 24 ч.

23. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния и , при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся: .

Ре­ше­ние.

Сумма при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное 0, толь­ко в том слу­чае, когда оба сла­га­е­мых од­но­вре­мен­но равны 0. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

 


Решим её:

 


Ответ: 0; (2;1).

24. Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на СА ка­са­ет­ся окруж­но­сти, О — центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 140°.

Ре­ше­ние.

Про­ведём ра­ди­ус OA. Тре­уголь­ник AOC — пря­мо­уголь­ный, ∠ A = 90°. ∠ COA = 180° − ∠ AOD = 180° − 140° = 40°; ∠ ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50.

25. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры и . До­ка­жи­те, что и равны.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем ОK, ON, ON, OM - ра­ди­у­сы. Тре­уголь­ни­ки KOL и MON равны по трем сто­ро­нам, тогда вы­со­ты OH и OS также равны как эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

26. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AM

Вариант 2

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. Ука­жи­те наи­мень­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим что По­сколь­ку число яв­ля­ет­ся наи­мень­шим.

 

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

2 На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа , , . Какой из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что и Про­ве­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1) — верно, так как , а ;

2) — верно, так как , а ;

3) — не­вер­но, так как ;

4) — верно, см. слу­чай 1).

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. Какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равно

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми их по­ка­за­те­ли вы­чи­та­ют­ся. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

Ответ: −1,6.

Ответ: -1,6

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 

1) 2)

3) 4)

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

 

 

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1) урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

2) урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вниз.

3) урав­не­ние пря­мой.

4) урав­не­ние верх­ней ветви па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во.

 

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 3, Б — 1, В — 2.

 

Ответ: 312.

Ответ: 312

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (аn): −6, −2, 2, …. Най­ди­те a 16.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

 

при

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

(при и ).

 

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

8. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

1) 2)
3) 4)

Модуль «Геометрия»

 

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) — ре­ше­ний нет.

2)

3) — верно для всех

4)

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C пря­мой, BC =3, cos B = 0,6. Най­ди­те AB.

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке:

 

 

Ответ:

Ответ: 5

10. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Най­ди­те длину хорды АВ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке ( — ра­ди­ус окруж­но­сти), сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник — рав­но­бе­де­рен­ный, то есть . Найдём угол

 

 

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний,

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

11 Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

Ответ: 25.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

12. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол Зна­чит,

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

 

 

Ответ: −3.

Ответ: -3

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

2) Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

3) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

4) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Модуль «Реальная математика»

 

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2) «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3) «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.» — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. В таб­ли­це пред­став­ле­ны на­ло­го­вые став­ки на ав­то­мо­би­ли в Москве с 1 ян­ва­ря 2013 года.

*л. с. − ло­ша­ди­ная сила

Сколь­ко руб­лей дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля мощ­но­стью 185 л. с. в ка­че­стве на­ло­га за один год?

1)45
2)50
3)8000
4) 9250

Ре­ше­ние.

При мощ­но­сти ав­то­мо­би­ля в 185 л. с. он по­па­да­ет в диа­па­зон от 176—201 л. с., т. е. на­ло­го­вая став­ка со­ста­вит 50 руб за л. с. в год.

Зна­чит налог к упла­те со­ста­вит 185 · 50=9250.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли и время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник в 6 часов утра.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что зна­че­ние дав­ле­ния во втор­ник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16. Го­су­дар­ству при­над­ле­жит 60% акций пред­при­я­тия, осталь­ные акции при­над­ле­жат част­ным лицам. Общая при­быль пред­при­я­тия после упла­ты на­ло­гов за год со­ста­ви­ла 40 млн. р. Какая сумма из этой при­бы­ли долж­на пойти на вы­пла­ту част­ным ак­ци­о­не­рам?

Ре­ше­ние.

Один про­цент от 40 млн равен: руб. На вы­пла­ту част­ным ак­ци­о­не­рам пошло: руб.

Ответ: 16000000.

Ответ: 16000000

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

Ре­ше­ние.

Найдём синус угла, на ко­то­рый под­ни­ма­ет­ся длин­ное плечо:

 

 

Угол подъ­ема длин­но­го плеча равен углу на ко­то­рый опу­стит­ся ко­рот­кое плечо. Пусть x — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стит­ся ко­рот­кое плечо, имеем:

 

 

Таким об­ра­зом, ко­рот­кое плечо опу­стит­ся на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сушёных белых гри­бах. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30%.

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

 

1) какао 2) шо­ко­лад 3) фа­соль 4) грибы

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30% в гри­бах. Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 2 до 51 вклю­чи­тель­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом?

Ре­ше­ние.

Всего в мешке 50 же­то­нов. Среди них 8 с од­но­знач­ны­ми но­ме­ра­ми. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом равна

Ответ: 0,16

20 Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия (t ° C) в шкалу Фа­рен­гей­та (t ° F), поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8 C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 158° по шкале Фа­рен­гейта? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Часть 2

 

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной F:

 

 

Ответ: 70.

Ответ: 70

21. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: при

Ре­ше­ние.

Имеем:

 


При по­лу­ча­ем:


Ответ:

22. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет часть бас­сей­на, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что гра­фик функ­ции можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при и

 

Ответ: 0; 4.

24. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

Ре­ше­ние.

Опу­стим ра­ди­у­сы на каж­дую ка­са­тель­ную. Со­еди­ним точки A и O. По­лу­чив­ши­е­ся тре­уголь­ни­ки - пря­мо­уголь­ные, так как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. По ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту эти тре­уголь­ни­ки равны, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что угол, ле­жа­щий на­про­тив ка­те­та равен Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда ра­ди­ус равен 4.

Ответ: 4.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

— па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны и равны. Углы и равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых и и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол равен углу сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки и и сле­до­ва­тель­но . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния, — после, — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

 

 

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, то есть

Рас­смот­ри пря­мые и их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые и па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

 

 

Ответ: 1,5.

 

 

При­ме­ча­ние

 

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми и Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны.

 

 

Вариант 3

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа 0,1327; 0,014; 0,13.

 

1) 0,1327; 0,014; 0,13 2) 0,014; 0,13; 0,1327 3) 0,1327; 0,13; 0,014 4) 0,13; 0,014; 0,1327

Ре­ше­ние.

За­пи­шем все числа с че­тырь­мя зна­ка­ми после за­пя­той и по­раз­ряд­но срав­ним цифры в их за­пи­си:

 

0,1327,

0,0140,

0,1300.

 

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вое число, наи­мень­шим — вто­рое число.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки x и y.

Какое из сле­ду­ю­щих не­ра­венств верно?

1) 2)
3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что 0 < x < 1, 2 < y < 3. Тогда не­ра­вен­ство не верно. Для вы­ра­же­ния xy верно двой­ное не­ра­вен­ство −3 < xy < −1. Для вы­ра­же­ния 1 − x верно двой­ное не­ра­вен­ство 0 < 1 − x < 1. Для вы­ра­же­ния верно двой­ное не­ра­вен­ство

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из чисел:

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим, между ка­ки­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми лежат числа, при­ве­ден­ные в от­ве­тах.

 

1)

2)

3)

 

Таким об­ра­зом, оста­лось срав­нить вто­рое и четвёртое число. По­сколь­ку имеем , т.е. четвёртое число боль­ше вто­ро­го.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

4. Най­ди­те корни урав­не­ния: те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна 3, а их про­из­ве­де­ние равно −18. Тем самым, это числа −3 и 6.

 

Ответ: −3; 6.

Ответ: -3;6

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов и и гра­фи­ка­ми.

 

КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

А)

Б)

В)

 

ГРА­ФИ­КИ

 

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­т



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Как распускаются разные деревья | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-29; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1093 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Есть только один способ избежать критики: ничего не делайте, ничего не говорите и будьте никем. © Аристотель
==> читать все изречения...

764 - | 728 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.009 с.