Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Вариант 1

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. За­пи­ши­те в от­ве­те но­ме­ра вы­ра­же­ний, зна­че­ния ко­то­рых по­ло­жи­тель­ны.

Но­ме­ра за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Найдём зна­че­ния вы­ра­же­ний:

 

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое вы­ра­же­ние ука­за­но под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

2. Из­вест­но, что . Вы­бе­ри­те наи­боль­шее из чисел.

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку число от­ри­ца­тель­но, и . Число по­ло­жи­тель­но и боль­ше 1. По­это­му оно яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. В какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний можно пре­об­ра­зо­вать дробь ?

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Упро­стим дробь:

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

4. Ре­ши­те урав­не­ние .

Если кор­ней не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета — сумма кор­ней равна 5, а их про­из­ве­де­ние равно −14.

Тем самым, это числа −2 и 7.

Ответ: −2; 7.

Ответ: -2; 7

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

1) 2) 3) 4)

 

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке.

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1) урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вверх.

2) урав­не­ние пря­мой.

3) урав­не­ние верх­ней ветви па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во.

4) урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 

Ответ: 142.

Ответ: 142

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 14, 9, 4,... Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

 

 

По­это­му

 

Ответ: 414.

Ответ: 414

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

При , зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния равно 16.

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

8. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

 

Модуль «Геометрия»

 

На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство её ре­ше­ний?

Ре­ше­ние.

Решим си­сте­му:

 

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

9. В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD , , , . Най­ди­те угол A. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Сумма углов вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка равна 360°. Имеем: Так как , и — общая тре­уголь­ни­ка ABD и BDC. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что . Таким об­ра­зом, .

 

Ответ: 95.

Ответ: 95

10. Най­ди­те , если гра­дус­ные меры дуг и равны 112° и 170° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние.

Так как впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, имеем , а . В тре­уголь­ни­ке OKM, .

 

Ответ: 39.

Ответ: 39

11. Одна из сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равна 12, дру­гая равна 5, а один из углов — 60°. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, делённую на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

 

Ответ: 30.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 30

12 На квад­рат­ной сетке изоб­ражён угол . Най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH. Тре­уголь­ник ABH — пря­мо­уголь­ный. Таким об­ра­зом,

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 

1) Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.

2) Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.

3) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.

4) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

 

Модуль «Реальная математика»

 

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.» — не­вер­но, квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

2) «Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.» — верно, ост­ро­уголь­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник у ко­то­ро­го все углы мень­ше 90°.

4) «В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

 

Ответ: 2; 3; 4.

Ответ: 2; 3; 4

14 В таб­ли­це даны ре­ко­мен­ду­е­мые су­точ­ные нормы по­треб­ле­ния (в г/сутки) жиров, бел­ков и уг­ле­во­дов детьми от 1 года до 14 лет и взрос­лы­ми.

Какой вывод о су­точ­ном по­треб­ле­нии уг­ле­во­дов муж­чи­ной можно сде­лать, если по подсчётам ди­е­то­ло­га в сред­нем за сутки он по­треб­ля­ет 488 г уг­ле­во­дов?

1) По­треб­ле­ние в норме.
2) По­треб­ле­ние выше ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.
3) По­треб­ле­ние ниже ре­ко­мен­ду­е­мой нормы.
4) В таб­ли­це не­до­ста­точ­но дан­ных.

Ре­ше­ние.

Су­точ­ная норма по­треб­ле­ния уг­ле­во­дов муж­чи­ны лежит в пре­де­лах 257−586 г. По­треб­ле­ние 488 г жиров в сутки со­от­вет­ству­ет норме.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля из пунк­та в пункт и ав­то­бу­са из пунк­та в пункт . На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са?

Ре­ше­ние.

Ав­то­бус про­ехал 240 км за 5 часов. Таким об­ра­зом, его ско­рость равна 48 км/ч. Ав­то­мо­биль про­ехал это же рас­сто­я­ние за 3 часа со ско­ро­стью 80 км/ч. Таким об­ра­зом, ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са на 32 км/ч.

Ответ: 32

16. На мно­го­пред­мет­ной олим­пиа­де всех участ­ни­ков по­лу­чи­ли ди­пло­мы, осталь­ных участ­ни­ков были на­граж­де­ны по­хваль­ны­ми гра­мо­та­ми, а осталь­ные 144 че­ло­ве­ка по­лу­чи­ли сер­ти­фи­ка­ты об уча­стии. Сколь­ко че­ло­век участ­во­ва­ло в олим­пиа­де?

Ре­ше­ние.

Все участ­во­вав­шие в олим­пиа­де де­лят­ся на три груп­пы: участ­ни­ки, по­лу­чив­шие ди­пло­мы, участ­ни­ки, по­лу­чив­шие сер­те­фи­ка­ты, участ­ни­ки, по­лу­чив­шие по­хваль­ные гра­мо­ты. Из­вест­но что всех участ­ни­ков по­лу­чи­ли ди­пло­мы, сле­до­ва­тель­но, остав­ша­я­ся часть со­ста­ви­ла от об­ще­го числа участ­ни­ков. Из участ­ни­ков, по­лу­чив­ших ди­пло­мы, участ­ни­ков были на­граж­де­ны по­хваль­ны­ми гра­мо­та­ми, остав­ши­е­ся участ­ни­ков со­ста­ви­ли 144 че­ло­ве­ка. Пусть x — общее число участ­ни­ков, тогда:

 

 

Тем самым, в олим­пиа­де участ­во­вал 231 уча­щий­ся.

 

Ответ: 231.

Ответ: 231

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

Ре­ше­ние.

Найдём синус угла, на ко­то­рый под­ни­ма­ет­ся длин­ное плечо:

 

 

Угол подъ­ема длин­но­го плеча равен углу на ко­то­рый опу­стит­ся ко­рот­кое плечо. Пусть x — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стит­ся ко­рот­кое плечо, имеем:

 

 

Таким об­ра­зом, ко­рот­кое плечо опу­стит­ся на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18 На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ло­рус­сии и Укра­и­ны вме­сте.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей Лат­вии.

3) При­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше 3 мил­ли­о­нов.

В ответ за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

Ре­ше­ние.

Разъ­яс­ним каж­дый ва­ри­ант от­ве­та:

1) Оче­вид­но, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ло­рус­сии вме­сте.

2) Сек­тор «Укра­и­на» за­ни­ма­ет боль­шую пло­щадь диа­грам­мы, чем сек­тор «Дру­гие стра­ны», а т. к. «Лат­вия» вклю­че­на в «Дру­гие стра­ны», имеем: поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Лат­вии.

3) Сек­тор в две трети диа­грам­мы от­се­ка­ет­ся углом в 2·360°/3 = 240°. Оче­вид­но, что угол, от­се­ка­ю­щий сек­тор «Рос­сия» при­мер­но равен 240°, зна­чит при­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти всех поль­зо­ва­те­лей, зна­чит, мень­ше 12/4=3 мил­ли­о­нов.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. В лыж­ных гон­ках участ­ву­ют 13 спортс­ме­нов из Рос­сии, 2 спортс­ме­на из Нор­ве­гии и 5 спортс­ме­нов из Шве­ции. По­ря­док, в ко­то­ром спортс­ме­ны стар­ту­ют, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пер­вым будет стар­то­вать спортс­мен не из Рос­сии.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность бла­го­при­ят­но­го слу­чая() — от­но­ше­ние ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. В дан­ной за­да­че бла­го­при­ят­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся старт спортс­ме­на не из Рос­сии под но­ме­ром 1. Всего бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев 2 + 5 = 7, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 13 + 2 + 5 = 20. От­но­ше­ние со­от­вет­ствен­но равно

 

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

20. Пло­щадь тра­пе­ции можно вы­чис­лить по фор­му­ле , где — ос­но­ва­ния тра­пе­ции, — вы­со­та (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те вы­со­ту , если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны и , а её пло­щадь . Часть 2

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим вы­со­ту тра­пе­ции из фор­му­лы пло­ща­ди:

 

 

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

 

Ответ: 4.

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу из­вест­ные зна­че­ния ве­ли­чин:

 

 

Ответ: 4

21. Раз­ло­жи­те на мно­жи­те­ли .

Ре­ше­ние.

Имеем:

 

.

 


Ответ: .

22. Два опе­ра­то­ра, ра­бо­тая вме­сте, могут на­брать текст га­зе­ты объ­яв­ле­ний за 8 ч. Если пер­вый опе­ра­тор будет ра­бо­тать 3 ч, а вто­рой 12 ч, то они вы­пол­нят толь­ко 75% всей ра­бо­ты. За какое время может на­брать весь текст каж­дый опе­ра­тор, ра­бо­тая от­дель­но?

Ре­ше­ние.

Пусть пер­вый опе­ра­тор может вы­пол­нить дан­ную ра­бо­ту за часов, а вто­рой за часов. За один час пер­вый опе­ра­тор вы­пол­ня­ет часть всей ра­бо­ты, а вто­рой . Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний:


 

 

 


Ответ: пер­вый опе­ра­тор за 12 ч, вто­рой опе­ра­тор за 24 ч.

23. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния и зна­че­ния и , при ко­то­рых оно до­сти­га­ет­ся: .

Ре­ше­ние.

Сумма при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, рав­ное 0, толь­ко в том слу­чае, когда оба сла­га­е­мых од­но­вре­мен­но равны 0. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

 


Решим её:

 


Ответ: 0; (2;1).

24. Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на СА ка­са­ет­ся окруж­но­сти, О — центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 140°.

Ре­ше­ние.

Про­ведём ра­ди­ус OA. Тре­уголь­ник AOC — пря­мо­уголь­ный, ∠ A = 90°. ∠ COA = 180° − ∠ AOD = 180° − 140° = 40°; ∠ ACO = 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50.

25. В окруж­но­сти с цен­тром про­ве­де­ны две рав­ные хорды и . На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры и . До­ка­жи­те, что и равны.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем ОK, ON, ON, OM - ра­ди­у­сы. Тре­уголь­ни­ки KOL и MON равны по трем сто­ро­нам, тогда вы­со­ты OH и OS также равны как эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

26. Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AM

Вариант 2

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. Ука­жи­те наи­мень­шее из сле­ду­ю­щих чисел:

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим что По­сколь­ку число яв­ля­ет­ся наи­мень­шим.

 

Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

2 На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа , , . Какой из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что и Про­ве­рим все ва­ри­ан­ты от­ве­та:

1) — верно, так как , а ;

2) — верно, так как , а ;

3) — не­вер­но, так как ;

4) — верно, см. слу­чай 1).

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

3. Какое из сле­ду­ю­щих вы­ра­же­ний равно

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

При де­ле­нии сте­пе­ней с оди­на­ко­вы­ми ос­но­ва­ни­я­ми их по­ка­за­те­ли вы­чи­та­ют­ся. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

4. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

 

Ответ: −1,6.

Ответ: -1,6

5. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и фор­му­ла­ми, ко­то­рые их за­да­ют.

 

1) 2)

3) 4)

Ответ ука­жи­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр без про­бе­лов и за­пя­тых в ука­зан­ном по­ряд­ке

 

 

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим вид гра­фи­ка каж­дой из функ­ций.

1) урав­не­ние ги­пер­бо­лы.

2) урав­не­ние па­ра­бо­лы, ветви ко­то­рой на­прав­лен­ны вниз.

3) урав­не­ние пря­мой.

4) урав­не­ние верх­ней ветви па­ра­бо­лы, на­прав­лен­ной впра­во.

 

Тем самым най­де­но со­от­вет­ствие: A — 3, Б — 1, В — 2.

 

Ответ: 312.

Ответ: 312

6. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (аn): −6, −2, 2, …. Най­ди­те a 16.

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 

 

Член ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 54.

Ответ: 54

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

 

при

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

(при и ).

 

Найдём зна­че­ние вы­ра­же­ния при

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

8. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

1) 2)
3) 4)

Модуль «Геометрия»

 

Ре­ше­ние.

Решим каж­дое из не­ра­венств:

1) — ре­ше­ний нет.

2)

3) — верно для всех

4)

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C пря­мой, BC =3, cos B = 0,6. Най­ди­те AB.

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке:

 

 

Ответ:

Ответ: 5

10. Цен­траль­ный угол AOB опи­ра­ет­ся на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Най­ди­те длину хорды АВ, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8.

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке ( — ра­ди­ус окруж­но­сти), сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник — рав­но­бе­де­рен­ный, то есть . Найдём угол

 

 

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но тре­уголь­ник — рав­но­сто­рон­ний,

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

11 Пе­ри­метр рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 30. Най­ди­те его пло­щадь делённую на .

Ре­ше­ние.

Так как в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все сто­ро­ны равны, то сто­ро­на дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними, имеем:

 

Ответ: 25.

 

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

12. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол Зна­чит,

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

 

 

Ответ: −3.

Ответ: -3

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.

2) Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

3) Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.

4) Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Модуль «Реальная математика»

 

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2) «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3) «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.» — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

14. В таб­ли­це пред­став­ле­ны на­ло­го­вые став­ки на ав­то­мо­би­ли в Москве с 1 ян­ва­ря 2013 года.

*л. с. − ло­ша­ди­ная сила

Сколь­ко руб­лей дол­жен за­пла­тить вла­де­лец ав­то­мо­би­ля мощ­но­стью 185 л. с. в ка­че­стве на­ло­га за один год?

1)45
2)50
3)8000
4) 9250

Ре­ше­ние.

При мощ­но­сти ав­то­мо­би­ля в 185 л. с. он по­па­да­ет в диа­па­зон от 176—201 л. с., т. е. на­ло­го­вая став­ка со­ста­вит 50 руб за л. с. в год.

Зна­чит налог к упла­те со­ста­вит 185 · 50=9250.

 

Пра­виль­ный ответ указ­на под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

15. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик из­ме­не­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в го­ро­де Энске за три дня. По го­ри­зон­та­ли ука­за­ны дни не­де­ли и время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ния ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба. Ука­жи­те зна­че­ние ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния во втор­ник в 6 часов утра.

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что зна­че­ние дав­ле­ния во втор­ник в 6:00 равно 758 мм рт. ст.

Ответ: 758.

Ответ: 758

16. Го­су­дар­ству при­над­ле­жит 60% акций пред­при­я­тия, осталь­ные акции при­над­ле­жат част­ным лицам. Общая при­быль пред­при­я­тия после упла­ты на­ло­гов за год со­ста­ви­ла 40 млн. р. Какая сумма из этой при­бы­ли долж­на пойти на вы­пла­ту част­ным ак­ци­о­не­рам?

Ре­ше­ние.

Один про­цент от 40 млн равен: руб. На вы­пла­ту част­ным ак­ци­о­не­рам пошло: руб.

Ответ: 16000000.

Ответ: 16000000

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

Ре­ше­ние.

Найдём синус угла, на ко­то­рый под­ни­ма­ет­ся длин­ное плечо:

 

 

Угол подъ­ема длин­но­го плеча равен углу на ко­то­рый опу­стит­ся ко­рот­кое плечо. Пусть x — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стит­ся ко­рот­кое плечо, имеем:

 

 

Таким об­ра­зом, ко­рот­кое плечо опу­стит­ся на 0,6 м.

 

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

18. На диа­грам­ме по­ка­за­но со­дер­жа­ние пи­та­тель­ных ве­ществ в какао, мо­лоч­ном шо­ко­ла­де, фа­со­ли и сушёных белых гри­бах. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, в каком про­дук­те со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30%.

*К про­че­му от­но­сят­ся вода, ви­та­ми­ны и ми­не­раль­ные ве­ще­ства.

 

1) какао 2) шо­ко­лад 3) фа­соль 4) грибы

Ре­ше­ние.

Из диа­грамм видно, что со­дер­жа­ние бел­ков пре­вы­ша­ет 30% в гри­бах. Таким об­ра­зом, вер­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

19. В мешке со­дер­жат­ся же­то­ны с но­ме­ра­ми от 2 до 51 вклю­чи­тель­но. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом?

Ре­ше­ние.

Всего в мешке 50 же­то­нов. Среди них 8 с од­но­знач­ны­ми но­ме­ра­ми. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность, того, что номер из­вле­чен­но­го на­у­гад из мешка же­то­на яв­ля­ет­ся од­но­знач­ным чис­лом равна

Ответ: 0,16

20 Чтобы пе­ре­ве­сти зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры по шкале Цель­сия (t ° C) в шкалу Фа­рен­гей­та (t ° F), поль­зу­ют­ся фор­му­лой F = 1,8 C + 32, где C — гра­ду­сы Цель­сия, F — гра­ду­сы Фа­рен­гей­та. Какая тем­пе­ра­ту­ра по шкале Цель­сия со­от­вет­ству­ет 158° по шкале Фа­рен­гейта? Ответ округ­ли­те до де­ся­тых.

Часть 2

 

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим в фор­му­лу зна­че­ние пе­ре­мен­ной F:

 

 

Ответ: 70.

Ответ: 70

21. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: при

Ре­ше­ние.

Имеем:

 


При по­лу­ча­ем:


Ответ:

22. Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 час. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

По усло­вию пер­вая труба за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ет часть бас­сей­на, а две трубы вме­сте за одну ми­ну­ту на­пол­ня­ют часть бас­сей­на. Таким об­ра­зом, одна вто­рая труба за ми­ну­ту на­пол­ня­ет часть бас­сей­на, то есть она на­пол­ня­ет весь бас­сейн за 15 часов.

 

Ответ: 15.

23. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно три общие точки.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­дуль, по­лу­чим, что гра­фик функ­ции можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

 

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

 

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно три общие точки при и

 

Ответ: 0; 4.

24. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

Ре­ше­ние.

Опу­стим ра­ди­у­сы на каж­дую ка­са­тель­ную. Со­еди­ним точки A и O. По­лу­чив­ши­е­ся тре­уголь­ни­ки - пря­мо­уголь­ные, так как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. По ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту эти тре­уголь­ни­ки равны, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что угол, ле­жа­щий на­про­тив ка­те­та равен Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда ра­ди­ус равен 4.

Ответ: 4.

25. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. ри­су­нок). До­ка­жи­те, что ВFDЕ — па­рал­ле­ло­грамм.

Ре­ше­ние.

— па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му сто­ро­ны и равны. Углы и равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых и и се­ку­щей Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, их ги­по­те­ну­зы равны и угол равен углу сле­до­ва­тель­но эти тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и углу, зна­чит, равны от­рез­ки и и сле­до­ва­тель­но . Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но этот четырёхуголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 3 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1 м?

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, при­ведённые на ри­сун­ке. Здесь — плечи "жу­рав­ля" до опус­ка­ния, — после, — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и углы и равны, как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при ос­но­ва­ни­ях:

 

 

Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, то есть

Рас­смот­ри пря­мые и их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые и па­рал­лель­ны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и они пря­мо­уголь­ные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны, зна­чит:

 

 

Ответ: 1,5.

 

 

При­ме­ча­ние

 

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков и . На при­ведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные и , они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но они по­доб­ны.

Затем, можно за­ме­тить, что у тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­ные углы, не важно какие, равны друг другу, по­то­му что их сто­ро­ны па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми и Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны.

 

 

Вариант 3

Часть1

Модуль «Алгебра»

1. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа 0,1327; 0,014; 0,13.

 

1) 0,1327; 0,014; 0,13 2) 0,014; 0,13; 0,1327 3) 0,1327; 0,13; 0,014 4) 0,13; 0,014; 0,1327

Ре­ше­ние.

За­пи­шем все числа с че­тырь­мя зна­ка­ми после за­пя­той и по­раз­ряд­но срав­ним цифры в их за­пи­си:

 

0,1327,

0,0140,

0,1300.

 

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вое число, наи­мень­шим — вто­рое число.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки x и y.

Какое из сле­ду­ю­щих не­ра­венств верно?

1) 2)
3) 4)

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что 0 < x < 1, 2 < y < 3. Тогда не­ра­вен­ство не верно. Для вы­ра­же­ния xy верно двой­ное не­ра­вен­ство −3 < xy < −1. Для вы­ра­же­ния 1 − x верно двой­ное не­ра­вен­ство 0 < 1 − x < 1. Для вы­ра­же­ния верно двой­ное не­ра­вен­ство

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

3. Ука­жи­те наи­боль­шее из чисел:

1) 2) 3) 4)

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим, между ка­ки­ми на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми лежат числа, при­ве­ден­ные в от­ве­тах.

 

1)

2)

3)

 

Таким об­ра­зом, оста­лось срав­нить вто­рое и четвёртое число. По­сколь­ку имеем , т.е. четвёртое число боль­ше вто­ро­го.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

4. Най­ди­те корни урав­не­ния: те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, сумма кор­ней равна 3, а их про­из­ве­де­ние равно −18. Тем самым, это числа −3 и 6.

 

Ответ: −3; 6.

Ответ: -3;6

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида . Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов и и гра­фи­ка­ми.

 

КО­ЭФ­ФИ­ЦИ­ЕН­ТЫ

А)

Б)

В)

 

ГРА­ФИ­КИ

 

 

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А Б В
     

 

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­т



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Как распускаются разные деревья | 
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-29; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1166 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наглость – это ругаться с преподавателем по поводу четверки, хотя перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2610 - | 2184 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.