Оценка результатов прямых равноточных многократных измерений

Результаты многократных наблюдений, получаемых при прямых измерениях величины X, называются равноточными, если они независимые, одинаково распределенные случайные величины, а измерения осуществляются одним наблюдением в одинаковых условиях с помощью одного и того же средства измерений.

Статистическая обработка экспериментального материала выполняется в соответствии с ГОСТ 8.207-76.

Рассмотрим группу результатов наблюдений.

Оценкой рассеяния результатов наблюдений в группе относительно среднего (2.6) будет (2.7). Так как число наблюдений в группе ограничено, то повторив заново серию наблюдений такого же объема n, мы получим другое значение . Повторяя серии n наблюдений и вычисляя каждый раз среднее значение, мы убедимся, что имеет своё рассеяние, числовой характеристикой которого является СКО среднего арифметического .

При обработке многократных наблюдений необходимо учитывать следующие факторы:

· обрабатывается группа наблюдений ограниченного объёма n;

· эта группа может содержать грубые погрешности (промахи);

· результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;

· распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Согласно ГОСТ 8.207-76 обработка результатов наблюдений производится в последовательности:

1. Исключаются известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2. Определяют границы неисключенной систематической погрешности (остатка) результата измерений.

3. Вычисляется среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, которое принимается за результат измерения .

4. Вычисляется оценка СКО результатов наблюдений .

5. Проверяется наличие в группе наблюдений грубых погрешностей. Если они есть, то их исключают из группы и вновь повторяют вычисление и .

6. Вычисляют оценку СКО среднего арифметического .

7. Проверяют гипотезу о принадлежности результатов наблюдений к нормальному закону распределения.

8. Вычисляют доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности).

9. Вычисляют доверительные границы погрешностей результата измерения.

Основной нормативный документ для выполнения многократных измерений является ГОСТ 8.207-76, а также – ГОСТ 11.002-73 (Прикладная статистика. Правила оценки нормальности результатов наблюдений), ГОСТ 11.004-74 (Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения).

Среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений (измерений), принимаемое за результат измерения, вычисляют по формуле

(2.20)

где n - число равноточных наблюдений; - i -й результат наблюдений.

Оценку СКО результата наблюдения вычисляют по приближенной формуле Бесселя

(2.21)

Эта оценка характеризует степень рассеяния результатов наблюдений относительно среднего арифметического и определяется условиями измерения (метрологическими характеристиками средства измерения, психофизическими качествами экспериментатора и др.).

В результате измерительного эксперимента получаем выборку , среди значений которой могут быть значения, существенно отличающихся от других. Принятие решения об исключении (или сохранении) таких значений осуществляют методами статистических гипотез. Для проверки гипотезы о том, что результаты не содержат грубой погрешности (брака), вычисляют величину.

(2.22)

где –экстремальные результаты наблюдений.

Полученные результаты сравнивают с наибольшим значением , которое случайная величина может принять по чисто случайным причинам.

Значение табулированы (см. Приложение 1) для заданной доверительной вероятности или уровне значимости . Если не принадлежит нормальной совокупности, то окажется справедливой зависимость

(2.23)

Доверительные границы случайной составляющей погрешности в соответствии со стандартом устанавливают для совокупности , принадлежащей нормальному распределению. Проверку нормальности, согласно ГОСТ 11.006–74, при n > 50, проводят по критериям Пирсона или Мизеса–Смирнова.

При 15 < n < 50 используют двойной составной q– критерий.

Критерий 1. Вычисляют отношение

(2.24)

где – смещенная оценка СКО, вычисляемая по формуле

Результаты наблюдений можно считать нормально распределенными, если

(2.25)

где и –квантили распределения статистики d (см. Приложение 2); q ₁– заранее выбранный уровень значимости.

Это условие является необходимым, но не достаточным. Поэтому используют второй критерий.

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей превысили значение , – верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, для вероятности Р /2 (см. Приложение 3).

Значение вероятности Р можно определить по выбранному уровню значимости и по числу результатов наблюдений n из соответствующих таблиц.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений хотя бы один из критериев не выполняется, то считают, что данная совокупность не принадлежит нормальному распределению.

При n < 15 принадлежность к нормальному закону не проверяется, а доверительные границы случайной погрешности результата измерений определяют лишь в том случае, если есть сведения о нормальности распределения х_i.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения при заданной доверительности вероятности вычисляют по формуле

где - коэффициент Стьюдента, который определяют из таблиц по числу степеней свободы (n –1) и доверительной вероятности (см. Приложение 4).

В ГОСТ 8.207-76 даны рекомендации по определению доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерений. Она образуется из неисключенных систематических составляющих погрешностей метода, средств измерений, погрешностей поправок и др.

Закон распределения (если нет других сведений) принимают равномерным. В этом случае границы неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляют по формуле

(2.24)

где – граница i –й неисключенной составляющей погрешности; k – коэффициент, зависящей от доверительной вероятности (); m –число неисключенных составляющих, если m < 4, то коэффициент k выбирают по графику зависимости [2.5 стр.75].

Доверительную вероятность принимают такой же, что при вычислении границ .

Границы погрешности результата измерений определяют в зависимости от соотношения величин не исключенной систематической составляющей и СКО среднего арифметического.

Если , то не исключенной систематической погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата . Если , то случайной погрешностью можно пренебречь и принять границы погрешности результата .

Если не выполняются оба неравенства, то вычисляют СКО результата измерения

, (2.25)

а границы погрешности в этом случае будут равны

, (2.26)

где

Согласно ГОСТ при симметричном доверительном интервале погрешности результат измерения представляют в форме

, при . (2.27)

Если данные о видах функции распределения отсутствуют, то результат измерения записывают в виде

(2.28)

Оценки могут выражаться в данных измеряемой величины. Допускается выражать их в относительной или приведенной формах.