Получить выражения для величин математического ожидания, дисперсии и СКО в случае арксинусного закона распределения.

Задача 1.

Используя метод размерности, получить функциональную связь между периодом колебаний математического маятника и его длиной, т.е. T=f(l). Используя результат, определить: сможет ли обезьянка спастись от Бармалея, если она висит над пропастью на лиане длиной L, первоначально отклоненной на малый угол , а Бармалей вооружен (например, пистолетом) и очень опасен; при этом, скорость полета пули выпущенной Бармалеем их пистолета v*, а l₀ (расстояние между плоскостью проходящей через положение равновесия маятника и центром тяжести обезьяны) и l* (расстояние от ствола пистолета Бармалея до плоскости равновесия маятника) связаны соотношением, - . Сформулировать необходимое для спасения обезьянки условие, полагая что через положение равновесия маятника проходит плоскость абсолютно проницаемая для обезьянки и непрозрачная для посторонних объектов и излучений.

Решение:




Время, необходимое для того чтобы обезьянка оказалась в безопасности равно четверти периода мат. маятника. Если время, необходимое для того чтобы пуля достигла положения равновесия маятника больше четверти периода маятника, то обезьянка спасётся – .

Ответ:Иными словами.

Задача 2.

Используя метод размерности, получить выражение для 4 закона Ньютона (закона тяготения). Полагать известными второй и третий законы Ньютона и использовать, при необходимости, один из универсальных физических принципов.

Решение:

 

При круговом движении центростремительная сила пропорциональна Кроме того . Из эмпирических наблюдений (второй закон Кеплера) видно, что при гравитационном взаимодействии . Таким образом, сила гравитационного взаимодействия .
Поскольку по третьему закону Ньютона силы действия двух тел друг на друга равны по модулю, то выражение для силы тяготения должно содержать массы обоих тел в качестве множителей. То есть:
где G – некоторая константа взаимодействия. Найдём её размерность.

Ответ:

Задача 3.

В системе единиц Планка получить размерности l, m, t.

Решение:

 

отсюда получим планковские единицы:

 

Ответ:
масса:

длина:

время:

Задача 4.

В системе единиц Людовича получить размерности l, m, t.

Решение:

Ответ:

масса:
длина:
время:

Задача 5.

Предложить принципиальную электронную схему контроля за процессом зондового электрохимического окисления титановой пленки наноразмерной толщины, повышающую пространственную локальность процесса. (Изменения какого параметра в данном случае наиболее эффективно отслеживать?)

Решение:

Pt

H₂O OH^-

Ti_XO_Y

Ti

V_ВЫХ

 

V_КОНТ

Между Ti и электродом зонда возникает V_KONT – контактная разность потенциалов. При окислении Ti на его поверхности образуется оксид Ti_XO_Y. V_KONT меняется. Поэтому именно данный параметр имеет смысл отслеживать. Для этого используем компаратор, на эталонный вход которого подаём значение V_KONT, а на другой – текущее значение контактной разности потенциалов между зондом и подложкой.

Ответ: Имеет смысл отслеживать такой параметр как контактная разность потенциалов

Задача 6.

Найти связь относительной ошибки функции y и относительной ошибки в измерениях величины x, если они связаны следующей функциональной зависимостью: y = x^α

Решение:

(разложение в ряд Тейлора вблизи )

Ответ:

Задача 7.

Получить выражения для величин математического ожидания, дисперсии и СКО в случае арксинусного закона распределения.

Решение:

Арксинусное распределение: где

(СКО) σ = =

Ответ: 0; ; σ =

Задача 8.

Используя закон экспоненциального распределения случайной величины, получить среднее время “сбоя” многоэлементного детектора, позиционирующего пучок электронов в линейном ускорителе; полагать, что упомянутый “сбой” в работе детектора связан с накоплением радиационных дефектов в ячейках матрицы детектора, а также, что среднее время “сбоя” подчиняется экспоненциальному закону распределения и равно 1 году. Найти вероятность того, что измерительная система будет устойчиво функционировать в течение двух лет.

Решение:

год

P(x = 2г) =

Ответ: Вероятность того, что прибор проработает без сбоев, равна 0,86

Задача 9.

Дано:

, ,

Решение:

Используем распределение Пуассона:

В нашем случае

P(n)=[0,034; 0,084; 0,14; 0,175; 0,175; 0,148; 0,104; 0,065; 0,036; 0,018]

 

Задачи 10-15. НЕТ.

Задача 16.

Площадь арктических льдов, по данным справочников, составляет 38 млн км², площадь льдов Антарктиды – 30 млн км², суммарная площадь льдов составляет 68 млн км². Толщину слоя льда примем одинаковой по всей поверхности и равной 2 км. Если предположить, что льды Арктики и Антарктиды растают, т.е. превратятся в воду, объём воды будет составлять с учётом преобразования плотностей:

Учитывая, что суммарная поверхность современных океанов составляет 361 млн км², получаем, что общий уровень воды в океане поднимется примерно на 410 м. Средняя высота над уровнем моря Европы составляет 300 м, это означает, что в случае всемирного потопа затонет почти вся Европа и Европейская часть России (кроме отдельных горных плато и вершин). Средняя высота над уровнем моря Азии составляет 960 м, и Азия, следовательно, будет спасена. А вместе с ней спасётся Северная Америка (720 м), Южная Америка (590 м). Затоплена будет ещё и Австралия (300м над уровнем моря).

Таким образом, таяние льдов представляет реальную угрозу современному обществу.

Задача 17.

Основной закон, которым следует пользоваться при оценке изменения вращения Земли – закон сохранения момента импульса. Момент импульса - это такая физическая величина, которая не может возникать или уничтожаться. Она способна лишь перераспределяться. В рассматриваемом случае перераспределение происходит между атмосферой и твердойЗемлей. Когда момент импульса атмосферы увеличивается, т.е. усиливаются западные ветры или ослабевают восточные, момент импульса тела Земли снижается, т.е. замедляется ее вращение.

В верхних слоях атмосферы самой теплой областью является не экватор и не параллель, на которой Солнце в полдень находится в зените, а полярная шапка летнего полушария (в июле - северная, в январе - южная). Оказалось, что средняя температура воздуха непрерывно убывает от полюса летнего полушария до полюса зимнего (в июле - от Северного полюса до Южного, в январе - от Южного полюса до Северного). В атмосфере имеется межполушарная тепловая машина, нагревателем которой служит атмосфера летнего полушария, а холодильником - атмосфера зимнего. Межполушарная тепловая машина препятствует работе тепловых машин первого рода: она уменьшает величину момента импульса ветров, удерживаемую в атмосфере тепловыми машинами первого рода. Чем больше контраст температур между полушариями, тем значительнее этот эффект. В январе и июле, когда межполушарная тепловая машина действует наиболее интенсивно, момент импульса ветров уменьшается до минимальных значений, а скорость вращения Земли достигает максимальных величин. В апреле и ноябре температурные различия между атмосферой Северного и Южного полушарий выравниваются; межполушарная тепловая машина прекращает свою работу, поэтому в атмосфере удерживается предельно большая величина момента импульса ветров и скорость вращения Земли становится минимальной.

Различие июльского и январского максимумов скорости вращения Земли связано с тем, что атмосфера Северного полушария в среднем за год теплее атмосферы Южного. Поэтому контраст температур между полюсами в июле значительно больше, чем в январе. Если бы подстилающие поверхности в Северном и Южном полушариях были одинаковы, то январский и июльский максимумы не различались бы. Интенсивность работы межполушарной тепловой машины меняется от года к году. В соответствии с этим меняются и параметры сезонных колебаний скорости вращения Земли.

Однако если среднегодовая температура Земли меняется равномерно на 10 градусов, как по условиям задачи, то разница температур тепловых машин Земли не изменяется, а остаётся постоянной, следовательно, ось вращения Земли не претерпевает измениний из-за движений атмосферы.

Ось вращения Земли может меняться с изменением средней годовой температуры только за счёт нарастания льдов на Северном и Южном полюсах. В случае изменения температуры на 10 градусов цельсия, согласно данным географических изотермических карт, площадь воды с температурой ниже нуля, будет составлять 1/3 от площадь вод Мирового океана (361,26 млн км²), то есть 120,42 млн км². Принимая, что средняя толщина льда составляет 2 км, получим, что суммарная масса льда станет равной 220,85*10⁶ млн кг. В то время, как в настоящий момент суммарная масса льда составляет 124,3*10⁶ млн кг.

Для простоты представим Землю как идеальный шар, а массивы ледников – точками на конце оси.

Тогда момент импульса в настоящее время будет равен:

После глобального похолодания момент импульса изменится на:

С учётом закона сохранения импульса, а также того, что скорость вращения Земли вокруг своей оси 460 м\с, а масса Земли составляет 5,9736*10²⁴ кг, получаем, что

 

Таким образом, предположения о том, что глобальное похолодание сильно изменит скорость оси вращения Земли, неоправданны.

 

Задача 18.

Решение:

Порядковый номер, i
Разрывное удлинение (Δl±0,05см)	2,2	2,6	2,0	2,7	2,4	2,9	2,1	2,3	2,8	2,5
Число волокон испытавших его, k

 

1) Представим результаты экспериментов в виде возрастающей последовательности:

Порядковый номер, i
Разрывное удлинение (Δl±0,05см)	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9
Число волокон испытавших его, k

 

2) Диапазон измеряемых значений разделим на k=3lg(10)+1=4 интервала и построим статистический ряд.n=200.

Ii	2.0, 2.225	2.225, 2.45	2.45, 2.675	2.675, 2.9
ni­
Pi*	0.18	0.305	0.325	0.19

 

3) Найдём теоретическую вероятность попадания величины X в каждый из интервалов.

 

Рассчитаем m_x, σ_x:

Составим таблицу:

 

Ii	2.0, 2.225	2.225, 2.45	2.45, 2.675	2.675, 2.9
Pi	0.146	0.1732	0.174	0.138
(Pi*-Pi)2/Pi	0.0064	0.057	0.07	0.014

 

 

Следовательно, получаем значение

 

По таблицам найденное значение хи-квадрат функции от 4-3=1 степеней свободы и критерием значимости 0,23 составляет 3,815. Т.к. 1,35<1,44 => критерий Пирсона выполняется и можно считать данное распределение нормальным, т.е. случайным.

Ответ: данное распределение можно осторожно рассматривать как случайное с критерием значимости 0.23.

Задача 19.

При измерениях α-частиц получены следующие результаты:

Порядковый номер измерений
Число зарегистри-рованных событий