Задача 1.
Используя метод размерности, получить функциональную связь между периодом колебаний математического маятника и его длиной, т.е. T=f(l). Используя результат, определить: сможет ли обезьянка спастись от Бармалея, если она висит над пропастью на лиане длиной L, первоначально отклоненной на малый угол 
, а Бармалей вооружен (например, пистолетом) и очень опасен; при этом, скорость полета пули выпущенной Бармалеем их пистолета v*, а l0 (расстояние между плоскостью проходящей через положение равновесия маятника и центром тяжести обезьяны) и l* (расстояние от ствола пистолета Бармалея до плоскости равновесия маятника) связаны соотношением, - 
. Сформулировать необходимое для спасения обезьянки условие, полагая что через положение равновесия маятника проходит плоскость абсолютно проницаемая для обезьянки и непрозрачная для посторонних объектов и излучений.
Решение:
Время, необходимое для того чтобы обезьянка оказалась в безопасности равно четверти периода мат. маятника. Если время, необходимое для того чтобы пуля достигла положения равновесия маятника больше четверти периода маятника, то обезьянка спасётся – 
.
Ответ:Иными словами.
Задача 2.
Используя метод размерности, получить выражение для 4 закона Ньютона (закона тяготения). Полагать известными второй и третий законы Ньютона и использовать, при необходимости, один из универсальных физических принципов.
Решение:
При круговом движении центростремительная сила пропорциональна 
Кроме того 
. Из эмпирических наблюдений (второй закон Кеплера) видно, что при гравитационном взаимодействии 
. Таким образом, сила гравитационного взаимодействия 
.
Поскольку по третьему закону Ньютона силы действия двух тел друг на друга равны по модулю, то выражение для силы тяготения должно содержать массы обоих тел в качестве множителей. То есть:
где G – некоторая константа взаимодействия. Найдём её размерность.
Ответ: 
Задача 3.
В системе единиц Планка получить размерности l, m, t.
Решение:
отсюда получим планковские единицы:
Ответ:
масса: 
длина: 
время: 
Задача 4.
В системе единиц Людовича получить размерности l, m, t.
Решение:
Ответ:
масса: 
длина: 
время: 
Задача 5.
Предложить принципиальную электронную схему контроля за процессом зондового электрохимического окисления титановой пленки наноразмерной толщины, повышающую пространственную локальность процесса. (Изменения какого параметра в данном случае наиболее эффективно отслеживать?)
Решение:
Pt
H2O 
OH-
TiXOY
Ti
VВЫХ
VКОНТ
Между Ti и электродом зонда возникает VKONT – контактная разность потенциалов. При окислении Ti на его поверхности образуется оксид TiXOY. VKONT меняется. Поэтому именно данный параметр имеет смысл отслеживать. Для этого используем компаратор, на эталонный вход которого подаём значение VKONT, а на другой – текущее значение контактной разности потенциалов между зондом и подложкой.
Ответ: Имеет смысл отслеживать такой параметр как контактная разность потенциалов
Задача 6.
Найти связь относительной ошибки функции y и относительной ошибки в измерениях величины x, если они связаны следующей функциональной зависимостью: y = xα
Решение:
(разложение 
в ряд Тейлора вблизи 
)
Ответ:
Задача 7.
Получить выражения для величин математического ожидания, дисперсии и СКО в случае арксинусного закона распределения.
Решение:
Арксинусное распределение: 
где 
(СКО) σ = 
= 
Ответ: 
0; 
; σ = 
Задача 8.
Используя закон экспоненциального распределения случайной величины, получить среднее время “сбоя” многоэлементного детектора, позиционирующего пучок электронов в линейном ускорителе; полагать, что упомянутый “сбой” в работе детектора связан с накоплением радиационных дефектов в ячейках матрицы детектора, а также, что среднее время “сбоя” подчиняется экспоненциальному закону распределения и равно 1 году. Найти вероятность того, что измерительная система будет устойчиво функционировать в течение двух лет.
Решение:
год
P(x = 2г) = 
Ответ: Вероятность того, что прибор проработает без сбоев, равна 0,86
Задача 9.
Дано:
, 
, 
Решение:
Используем распределение Пуассона:
В нашем случае 
P(n)=[0,034; 0,084; 0,14; 0,175; 0,175; 0,148; 0,104; 0,065; 0,036; 0,018]
Задачи 10-15. НЕТ.
Задача 16.
Площадь арктических льдов, по данным справочников, составляет 38 млн км2, площадь льдов Антарктиды – 30 млн км2, суммарная площадь льдов составляет 68 млн км2. Толщину слоя льда примем одинаковой по всей поверхности и равной 2 км. Если предположить, что льды Арктики и Антарктиды растают, т.е. превратятся в воду, объём воды будет составлять с учётом преобразования плотностей:
Учитывая, что суммарная поверхность современных океанов составляет 361 млн км2, получаем, что общий уровень воды в океане поднимется примерно на 410 м. Средняя высота над уровнем моря Европы составляет 300 м, это означает, что в случае всемирного потопа затонет почти вся Европа и Европейская часть России (кроме отдельных горных плато и вершин). Средняя высота над уровнем моря Азии составляет 960 м, и Азия, следовательно, будет спасена. А вместе с ней спасётся Северная Америка (720 м), Южная Америка (590 м). Затоплена будет ещё и Австралия (300м над уровнем моря).
Таким образом, таяние льдов представляет реальную угрозу современному обществу.
Задача 17.
Основной закон, которым следует пользоваться при оценке изменения вращения Земли – закон сохранения момента импульса. Момент импульса - это такая физическая величина, которая не может возникать или уничтожаться. Она способна лишь перераспределяться. В рассматриваемом случае перераспределение происходит между атмосферой и твердойЗемлей. Когда момент импульса атмосферы увеличивается, т.е. усиливаются западные ветры или ослабевают восточные, момент импульса тела Земли снижается, т.е. замедляется ее вращение.
В верхних слоях атмосферы самой теплой областью является не экватор и не параллель, на которой Солнце в полдень находится в зените, а полярная шапка летнего полушария (в июле - северная, в январе - южная). Оказалось, что средняя температура воздуха непрерывно убывает от полюса летнего полушария до полюса зимнего (в июле - от Северного полюса до Южного, в январе - от Южного полюса до Северного). В атмосфере имеется межполушарная тепловая машина, нагревателем которой служит атмосфера летнего полушария, а холодильником - атмосфера зимнего. Межполушарная тепловая машина препятствует работе тепловых машин первого рода: она уменьшает величину момента импульса ветров, удерживаемую в атмосфере тепловыми машинами первого рода. Чем больше контраст температур между полушариями, тем значительнее этот эффект. В январе и июле, когда межполушарная тепловая машина действует наиболее интенсивно, момент импульса ветров уменьшается до минимальных значений, а скорость вращения Земли достигает максимальных величин. В апреле и ноябре температурные различия между атмосферой Северного и Южного полушарий выравниваются; межполушарная тепловая машина прекращает свою работу, поэтому в атмосфере удерживается предельно большая величина момента импульса ветров и скорость вращения Земли становится минимальной.
Различие июльского и январского максимумов скорости вращения Земли связано с тем, что атмосфера Северного полушария в среднем за год теплее атмосферы Южного. Поэтому контраст температур между полюсами в июле значительно больше, чем в январе. Если бы подстилающие поверхности в Северном и Южном полушариях были одинаковы, то январский и июльский максимумы не различались бы. Интенсивность работы межполушарной тепловой машины меняется от года к году. В соответствии с этим меняются и параметры сезонных колебаний скорости вращения Земли.
Однако если среднегодовая температура Земли меняется равномерно на 10 градусов, как по условиям задачи, то разница температур тепловых машин Земли не изменяется, а остаётся постоянной, следовательно, ось вращения Земли не претерпевает измениний из-за движений атмосферы.
Ось вращения Земли может меняться с изменением средней годовой температуры только за счёт нарастания льдов на Северном и Южном полюсах. В случае изменения температуры на 10 градусов цельсия, согласно данным географических изотермических карт, площадь воды с температурой ниже нуля, будет составлять 1/3 от площадь вод Мирового океана (361,26 млн км2), то есть 120,42 млн км2. Принимая, что средняя толщина льда составляет 2 км, получим, что суммарная масса льда станет равной 220,85*106 млн кг. В то время, как в настоящий момент суммарная масса льда составляет 124,3*106 млн кг.
Для простоты представим Землю как идеальный шар, а массивы ледников – точками на конце оси.
Тогда момент импульса в настоящее время будет равен:
После глобального похолодания момент импульса изменится на:
С учётом закона сохранения импульса, а также того, что скорость вращения Земли вокруг своей оси 460 м\с, а масса Земли составляет 5,9736*1024 кг, получаем, что
Таким образом, предположения о том, что глобальное похолодание сильно изменит скорость оси вращения Земли, неоправданны.
Задача 18.
Решение:
| Порядковый номер, i | ||||||||||
| Разрывное удлинение (Δl±0,05см) | 2,2 | 2,6 | 2,0 | 2,7 | 2,4 | 2,9 | 2,1 | 2,3 | 2,8 | 2,5 |
| Число волокон испытавших его, k |
1) Представим результаты экспериментов в виде возрастающей последовательности:
| Порядковый номер, i | ||||||||||
| Разрывное удлинение (Δl±0,05см) | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 | 2,7 | 2,8 | 2,9 |
| Число волокон испытавших его, k |
2) Диапазон измеряемых значений разделим на k=3lg(10)+1=4 интервала и построим статистический ряд.n=200.
| Ii | 2.0, 2.225 | 2.225, 2.45 | 2.45, 2.675 | 2.675, 2.9 |
| ni | ||||
| Pi* | 0.18 | 0.305 | 0.325 | 0.19 |
3) Найдём теоретическую вероятность попадания величины X в каждый из интервалов.
Рассчитаем mx, σx:
Составим таблицу:
| Ii | 2.0, 2.225 | 2.225, 2.45 | 2.45, 2.675 | 2.675, 2.9 |
| Pi | 0.146 | 0.1732 | 0.174 | 0.138 |
| (Pi*-Pi)2/Pi | 0.0064 | 0.057 | 0.07 | 0.014 |
Следовательно, получаем значение
По таблицам найденное значение хи-квадрат функции от 4-3=1 степеней свободы и критерием значимости 0,23 составляет 3,815. Т.к. 1,35<1,44 => критерий Пирсона выполняется и можно считать данное распределение нормальным, т.е. случайным.
Ответ: данное распределение можно осторожно рассматривать как случайное с критерием значимости 0.23.
Задача 19.
При измерениях α-частиц получены следующие результаты:
| Порядковый номер измерений | ||||||||||
| Число зарегистри-рованных событий |
