Найти условие того, что ядро с массовым числом А и зарядом Z начнет процесс спонтанного деления на 2 осколка.

Решение:

 

Математическая справка:

1. В сферических координатах (r,ϑ, ) элемент объема тонкого сферического слоя равен:

(3.3)

2. Рассмотрим сложную фигуру, изображенную на рис.1, координаты точек поверхности которой описывается произвольной функцией . Предполагается, что тело симметрично относительно вращения вокруг оси Z. Элемент длины dl на сечении фигуры, изображенной на рис.1, равен:

При вращении отрезка dl вокруг оси Z образуется плоское кольцо площадью . Следовательно, полная площадь поверхности деформированного ядра равна:

(3.3 )

Рис.1 Сечение деформированного ядра

3.Для дальнейшего укажем значения некоторых интегралов, которые элементарно вычисляются путем замены с учетом того, что :

(3.4)

В процессе деформации атомных ядер изменяется каждый член формулы Б.В. (4), но главную роль в этом процессе играют второй (поверхностный) и третий (кулоновский) члены. Таким образом, наша задача сводится к расчетам изменения поверхностной и кулоновской энергий деформированного ядра для выбранной модели (3.1).

Так как ядерное вещество практически несжимаемо, то в процессе деформации его объем остается неизменным. Из этого условия можно найти связь параметров деформации и в формуле (3.1):

.

При вычислениях мы воспользовались формулами (3.2) и (3.4) и сохранили лишь члены порядка не выше . Из последнего соотношения для несжимаемого ядра получаем:

(3.5)

Далее вычислим изменение площади поверхности деформированного ядра. Для этого учтем формулу (3.3) и проведем приближенные расчеты, сохраняя лишь члены порядка не выше с учетом результата (3.5):

(3.6)

Тогда поверхностную энергию деформированного ядра можно вычислить по формуле:

. (3.7)

Здесь мы воспользовались также результатами задачи 1 (соотношения (1.1) и (1.3)). Сравнивая (3.7) с поверхностным членом формулы Б.В. (4):

, (3.8)

мы видим, что эффект деформации ядра сводится к формальной замене:

(3.9)

Отсюда можно оценить изменение кулоновской энергии деформированного ядра (4) путем формального перехода:

(3.10)

Тогда полное изменение энергии связи ядра, вызванное деформацией, будет равно:

(3.11)

Очевидно, ядро начнет спонтанно деформироваться, разделяясь на два осколка, если . Из формулы (3.11) мы получим окончательный результат:

(3.12)

Величина называется параметром деления, который играет определяющую роль в процессах спонтанного деления ядер.

Полученный результат позволяет объяснить, например, почему изотоп является менее стабильным относительно процессов спонтанного деления, чем изотоп . Достаточно сказать, что в природной смеси изотопов урана составляет лишь 0,3%, тогда как для изотопов эта концентрация достигает 99,7%.

 

Ответ: .

 

Задача 4. Используя формулу Бете - Вайцзеккера (4), определить среди изобарных ядер заряд ядра Z_о , стабильного относительно распада. Определить характер активности радиоактивных ядер серебра

Решение:

При радиоактивных распадах энергия связи конечного ядра возрастает, и для стабильного из группы изобарных ядер достигает максимума по параметру Z. Из формулы Б.В. (4) при A =const условие экстремума функции Е_св (Z) имеет вид:

 

отсюда:

. (4.1)

Если заряд ядра Z > Z_o, то оно будет проявлять активность, в противном случае - активно. Очевидно, при ядро будет стабильно относительно распадов. Используя этот критерий, можно предсказать, что ядра серебра (Z=47) являются активными (Z_o=45), тогда как ядра олова (Z_o=54) и цезия (Z_o=59) являются активными.

 

Ответ: Z_o = ; ядро является активным, ядра и активны.

 

№8. Пусть изменение энергии связи ядра происходит в результате малых деформаций, когда координаты точки на поверхности ядра обладают аксиальной симметрией и в плоскости, проходящей через центр ядра, описываются в полярных координатах функцией вида:

,

где полином Лежандра . Оценить параметр деформации , когда ядро начнет процесс деления на 3 фрагмента.

 

 

Литература:

1. Широков Ю.М., Ядерная физика: Учебное пособие/ Ю.М. Широков, Н.П. Юдин.- М.: "Наука", 1980.- 728с.

2. Фрауэнфельдер Г., Субатомная физика/ Г. Фрауэнфельдер, Э. Хенли.- М.: "Мир", 1979.- 736с.

3. Капитонов И.М., Введение в физику ядра и частиц: Учебное пособие/ И.М. Капитонов.- М.: "Едиториал УРСС", 2002.- 384с.

4. Иродов И.Е., Сборник задач по атомной и ядерной физике: Учебное пособие/ И.Е.Иродов.- М. "Атомиздат", 1976.- 232с.

5. Флюгге З., Задачи по квантовой механике, в 2-х т./ З. Флюгге.- М.: "Мир", 1974.- т.1.- 374с., т.2.- 316с.