Вращательное движение твердого тела.

Рис. 4.11.3.

Рассмотрим вращающееся вокруг неподвижной оси твердое тело, которое можно представить как совокупность большого числа материальных точек массой Dm_i, находящихся на расстоянии r_i от оси вращения. Тогда для каждой такой материальной точки можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

. (4.11.15)

Сложим для всех i уравнения (4.11.15)

. (4.11.16)

Так как для пары внутренних сил F_ij и F_ji выполняется третий закон Ньютона: F_ij = -F _ji, то . Введем следующие обозначения: назовем полным моментом внешних сил, а величину

(4.11.17)

- назовем моментом инерции твердого тела.

Уравнение (4.11.16) с учетом введенных обозначений принимает вид:

. (4.11.18)

Уравнение (4.11.18) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела.

Момент инерции твердого тела I, вычисляемый по формуле (4.11.17) зависит не только от массы, формы и размеров тела, но и от выбора оси вращения и положения тела относительно этой оси.

Получим, для примера, формулу для момента инерции обруча при его вращении относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости обруча (рис. 4.11.4).

Рис. 4.11.4. Рис. 4.11.5.

Разобьем цилиндр на малые элементы массой D m_i, тогда

, Þ

, (4.11.19)

где m – масса обруча, R – его радиус.

Точно такая же формула получается и в случае вращения цилиндрической поверхности относительно ее оси симметрии (рис. 4.11.5).

. (4.11.20)

Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии оказался в два меньше, чем момент инерции полого цилиндра:

, (4.11.20)

поэтому сплошной цилиндр легче раскрутить, чем полый той же массы.

Для вычисления момента инерции относительно произвольной оси применяют теорему Штейнера (теорему о переносе осей инерции).

Теорема Штейнера (теорема о переносе осей инерции). Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I_C относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями. . (4.11.21)

Найдем теперь кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для этого разобьем тело на малые точечные элементы массой D m_i (см. рис. 4.11.3).

, Þ

. (4.11.22)

Если тело движется поступательно и при этом вращается вокруг оси, не меняющей своего направления и проходящей через центр масс тела, то его кинетическая энергия может быть найдена с помощью теоремы Кёнига.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения этого тела со скоростью его центра масс и кинетической энергии вращения тела вокруг центра масс. , (4.11.23)

где m – масса тела, v_{ц.м .} – скорость поступательного движения центра масс тела, I_{ц.м .} – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости вращения.

Для примера, найдем кинетическую энергию катящегося без проскальзывания колеса массой m и радиуса R, имеющего скорость поступательного движения v. Так как в этом случае, , то . А полная кинетическая энергия равна

. (4.11.24)