Динамика движения материальной точки по окружности.

Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.

Динамика движения материальной точки по окружности.

При движении по окружности радиуса R ускорение материальной точки равно , где нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения рассчитывается по формулам и , w – угловая скорость материальной точки. Если ввести понятие углового ускорения , то тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением формулой

. (4.11.1)

Запишем второй закон Ньютона для описания движения материальной точки по окружности: . В проекциях на оси, направленные к центру окружности и по касательной к ней, имеем

, (4.11.2)

, (4.11.3)

где (см. рис. 4.11.1).

Рис. 4.11.1.

Из выражении (4.11.1) и (4.11.3) следует

. (4.11.4)

Умножим (4.11.4) на R, тогда получим

. (4.11.5)

Назовем моментом силы M произведение тангенциальной составляющей силы на радиус.

. (4.11.6)

Из рисунка 4.11.1 можно получить другую формулу для момента силы. Т.к. , а , то

. (4.11.7)

Плечом силы d называется расстояние между центром вращения и линией действия силы.

Формула (4.11.7) позволяет дать другое определение момента силы.

Моментом силы называется произведение силы на плечо.

Моментом инерции материальной точки J называется произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до центра вращения.

. (4.11.8)

Момент инерции является мерой инертности материальной точки при движении ее по окружности. Это можно объяснить на таком примере. Как известно, камень на длинной веревке, раскрутить труднее, чем на короткой. Момент инерции камня на длинной веревке больше, чем на короткой.

Пользуясь определениями момента силы (4.11.6) и момента инерции материальной точки (4.11.8), запишем выражение (4.11.5) в виде

, (4.11.9)

которое называется основным уравнением динамики вращательного движения материальной точки.

Замечание. О знаке момента силы. Так как сила – вектор, который может увеличивать или уменьшать угловую скорость вращения, то момент силы должен это учитывать. Будем считать положительным направлением движения материальной точки – ее движение против часовой стрелки. Тогда M > 0, если сила увеличивает скорость обращения точки в направлении против часовой стрелки, и M < 0, в противном случае.

 

Теперь получим другое выражение основного уравнения динамики вращательного движения (4.11.9), которое будет похоже на основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки (4.2.9).

Преобразуем уравнение (4.11.9), которое при Dt ® 0, принимает следующий вид:

, Þ . Т.к. J = const, то Þ .

Физическая величина (4.11.11)

называется моментом импульса (моментом количества движения).

Пользуясь введенной выше величиной момента импульса, основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки можно записать в виде:

. (4.11.12)

Для системы материальных точек основное уравнение динамики вращательного движения системы материальных точек имеет вид:

, (4.11.13)

где – полный момент импульса системы, - сумма механических моментов внешних сил.

В замкнутой системе , Þ L = const, т.е. выполняется закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой механической системы относительно неподвижной оси сохраняется

= const. (4.11.14)

Рассмотрим следующий пример проявления закона сохранения момента импульса. Балерина или фигуристка, делая повороты вокруг своей оси, чтобы увеличить скорость вращения, распрямляет руки вдоль тела, т.е. уменьшает свой момент инерции, увеличивая тем самым свою угловую скорость: .

Замечание. Момент импульса также сохраняется, если на систему действуют центральные силы (например, сила тяготения).