СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Логическая символика. Множества и операции над ними.
2. Множество вещественных чисел. Ограниченные множества вещественных чисел.
3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств.
4. Счетные множества. Несчетные множества, континуум.
5. Прямое произведение двух множеств.
6. Общее понятие функции, числовая и векторная функции; функция вещественного переменного.
Тема 2. Предел числовой последовательности.
7. Числовые последовательности и операции над ними.
8. Ограниченные и неограниченные последовательности.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
10. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
11. Понятие сходящейся последовательности.
12. Основные свойства сходящихся последовательностей.
13. Предельный переход в неравенствах.
14. Монотонные последовательности и признаки их сходимости.
15. Число е.
Тема 3. Предел функции.
16. Функциональная зависимость и способы ее задания.
17. Предел функции.
18. Необходимое и достаточное условие существования предела.
19. Односторонние пределы.
20. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение.
21. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
22. Предельный переход в неравенствах.
23. Первый и второй замечательные пределы.
24. Ограниченные и неограниченные функции.
25. Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Тема 4. Непрерывные функции.
26. Непрерывность функции в точке.
27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
28. Понятие обратной функции.
29. Монотонные функции.
30. Монотонные функции, имеющие обратную.
31. Понятие сложной функции.
32. Непрерывность и предельное значение некоторых сложных функций.
33. Понятие элементарной функции; класс элементарных функций.
34. Точки разрыва функции и их классификация.
35. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
36. Первая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака).
37. Вторая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение).
38. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции).
39. Точные верхняя и нижняя грани ограниченной функции.
40. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на сегменте функцией точных верхней и нижней граней).
Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.Производная и дифференциал функции.
41. Приращение аргумента и функции.
42. Разностная форма условия непрерывности функции.
43. Понятие производной.
44. Физический и геометрический смысл производной.
45. Правая и левая производные.
46. Дифференцируемость функции в точке.
47. Непрерывность дифференцируемой функции.
48. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
49. Теорема о дифференцировании обратной функции.
50. Производные основных элементарных функций.
51. Дифференцирование сложной функции.
52. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
53. Дифференциал функции.
54. Инвариантность первого дифференциала функции.
55. Формулы и правила вычисления дифференциалов.
56. Геометрический смысл дифференциала функции.
57. Производные и дифференциалы высших порядков.
58. Формула Лейбница производной n-го порядка произведения двух функций.
59. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
60. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
61. Возрастание и убывание функции в точке.
62. Лемма Ферма (об условиях возрастания и убывания дифференцируемой в точке функции).
63. Локальный экстремум функции.
64. Теорема Ферма (о необходимом условии локального экстремума).
65. Теорема Ролля (о нуле производной).
66. Теорема Лагранжа; формула конечных приращений.
67. Теорема (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенностей вида 0/0.
68. Теорема о раскрытии неопределенностей вида ¥/¥.
69. Раскрытие неопределенностей других видов: 0*¥, ¥-¥, 1¥, ¥0.
70. Формула Тейлора.
71. Остаточный член формулы Тейлора в формах Лагранжа, Пеано.
72. Формула Маклорена.
73. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа для формулы Маклорена.
Тема 6. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков функций.
74. Интервалы возрастания и убывания функции. Теорема о достаточном условии возрастания (убывания) функции на интервале.
75. Стационарные точки функции. Теорема о достаточном условии экстремума функции (первое и второе достаточные условия).
76. Направление выпуклости графика функции (вверх, вниз).
77. Теорема о направлении выпуклости функции, имеющей конечную вторую производную на интервале.
78. Теорема о направлении выпуклости графика функции, имеющей непрерывную вторую производную в данной точке.
79. Точки перегиба графика функции.
80. Асимптоты графика функции. Теорема о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты.
81. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
82. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.
Тема 7. Неопределенный интеграл.
83. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
84. Основные свойства неопределенного интеграла.
85. Таблица основных неопределенных интегралов.
86. Интегрирование заменой переменной и по частям.
87. Разложение алгебраического многочлена на множители над полем действительнных чисел.
88. Теорема о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами.
89. Проблема интегрирования рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений.
Тема 8. Определенный интеграл.
90. Понятие определенного интеграла.
91. Интегрируемость (в смысле Римана) функции на сегменте.
92. Теорема о неинтегрируемости неограниченной на сегменте функции.
93. Верхние и нижние суммы. Свойства верхних и нижних сумм.
94. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
95. Лемма Дарбу.
96. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости (по Риману) функции на сегменте.
97. Теорема об интегрируемости (по Риману) непрерывной на сегменте функции.
98. Основные свойства определенного интеграла.
99. Первая и вторая формулы среднего значения определенного интеграла.
100. Теорема о существовании первообразной для непрерывной на интервале функции.
101. Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
102. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Тема 9. Геометрические приложения определенного интеграла.
103. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
104. Теорема о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой.
105. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
106. Дифференциал дуги плоской кривой.
107. Кривизна плоской кривой.
108. Квадрируемость и площадь плоской фигуры.
109. Теорема о необходимом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры.
110. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах; утверждение о квадрируемости и площадь криволинейной трапеции.
111. Площадь плоской фигуры в полярных координатах; утверждение о квадрируемости и площади криволинейного сектора (без доказательства).
112. Кубируемость и объем пространственного тела. Теорема о необходимом и достаточном условии кубируемости конечного пространственного тела.
113. Оъем цилиндрического тела; утверждение о кубируемости и объеме цилиндрического тела (и как следствие кубируемости ступенчатого цилиндрического тела); утверждение о кубируемости конечного пространственного тела (как следствие кубируемости ступенчатого конечного пространственного тела).
114. Объем тела вращения; утверждение о кубируемости и объеме тела вращения.
Тема 10. Несобственный интеграл.
115. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (общие понятия; сходимость и расходимость).
116. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
117. Абсолютная сходимость несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
118. Теорема о сходимости (в обычном смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования (общий признак сравнения).
119. Несобственные интегралы от неограниченных функций (общие понятия; сходимость и расходимость).
120. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций.
121. Абсолютная сходимость несобственных интегралов от неограниченных функций.
122. Теорема о сходимости (в общем смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла от неограниченной функции.
