Математические модели элементарных измерительных сигналов

В метрологии измерительные сигналы описыва­ются математическими моделями вида Y = f (X, А, В, С,.), где Y — основной информативный параметр сигнала, X — независимый аргумент сигнала, А, В, С — параметры сигнала. В зависимости от рода независи­мого аргумента сигналы описываются временными (X = t) и частотными (X = ω) математическими моде­лями. Вид модели выбирается в зависимости от кон­кретных условий решаемой задачи.

Во временной области применяют известные ма­тематические функции f (l, А, В, С,...), наиболее точ­но описывающие изменение сигнала, в которых один из параметров А, В, С и т.д. зависит от измеряемой величины. Временная форма представления сигнала по­зволяет легко определить такие важные характеристики, как энергия, мощность и длительность сигнала.

Наряду с временным описанием сигналов широко используется их спектральное (частотное) представ­ление. В процессе передачи и обработки сигналов оно играет особую роль, поскольку определяет параметры используемой аппаратуры. Частотное представление основывается на преобразовании Фурье сигнала Y(t):

(1.5)

где А₀— постоянная составляющая; А_n,φ_n— амплиту­да и фаза n-й гармоники Множество значений А_n (ω) и φ_n (ω) образуют соответственно амплитудный и фазо­вый спектры, которые характеризуют свойства сигна­ла Y (t) в частотной области. Такой спектр называют линейчатым, или дискретным. Различные формы пред­ставления спектра периодического сигнала могут быть также найдены с помощью выражений. При постепенном увеличении периода сигнала (в пределе до бесконечности) разности соседних частотных составляющих спектра становятся ничтожно малыми и дискретный спектр превращается в непрерывный.

Для описания непрерывного спектра непериоди­ческого сигнала Y(t) используют спектральную функ­цию S(ω), модуль спектральной функции │S(ω)│, часто называемый спектром, и аргумент спектральной функции argS(ω).

Спектральную функцию можно определить с по­мощью интеграла Фурье:

Здесь Re│S(ω)│ и Im│S(ω)│ —действительная и мнимая части спектральной функции:

Модуль и аргумент спектральной функции опреде­ляются соответственно по формулам

Спектральная функция S(ω) является комплекс­ной величиной, содержащей информацию о спектре и амплитуд, и фаз, поэтому часто ее называют ком­плексным спектром. Модуль функции S(co) является спектром амплитуд, но он выражает не непосредст­венно амплитуду, а ее спектральную плотность.

Спектральное представление сигнала позволяет оценить его частотный диапазон, т. е. граничные час­тоты, между которыми заключены все или основные, имеющие наибольшие амплитуды гармонические со­ставляющие сигнала. Частотный диапазон является важной характеристикой сигнала, определяющей не­обходимую полосу пропускания средства измерения для передачи сигналов с требуемой точностью.