Метод Фурье для уравнений гиперболического типа

Разберем простейшее уравнение, описывающее колебание струны, закрепленной на концах, без воздействия внешних сил.
(1)
при начальных условиях

(2)
и граничных условиях
. (3)

Пояснение:
Начальное условие означает, что в нулевой момент времени струна имеет форму .
Начальное условие означает, что в нулевой момент времени скорости точек струны равны .

Граничные условия означают, что концы струны жестко закреплены.

Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде
-

произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая только от .

1) Найдем частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие граничным условиям (3).

Подставим в исходное уравнение .

Поделим обе части полученного равенства на

Пояснение: Получено равенство, левая часть которого зависит только от , а правая часть – только от . Функции разных переменных могут быть равны между собой только в том случае, если они равны какому то числу, константе, обозначается эта константа .

Получены два уравнения:

и , или, после преобразований

Рассмотрим первое из них. Необходимо найти нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям
.
Замечание: Это есть граничные условия .
Это задача Штурма-Лиувилля. Однако её может решить любой, изучивший курс дифференциальных уравнений.

(4)
- линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение:

 

Замечание: Не вдаваясь в подробности: .

Общее решение уравнения (4):
.
Определим значение коэффициентов и из условий .
1)

Подставляем в общее решение и получаем: .
2)

, иначе решением будет только .

- это, в зависимости от – собственные значения задачи.
Т.к. выполнение условий не зависит от коэффициента , то примем его значение равным 1.
Итак, нетривиальными решениями уравнения (4) являются функции
.

Решим уравнение , причем уже известно, что .

Общее решение уравнения (4):
.
Возвращаемся к поставленной задаче (1):
Функции

Являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3).
Т.к. уравнение (1) линейно и однородно, то сумма частных решений

также является решением.
Теперь стоит разобраться с начальными условиями: .
1)

(5)

2)


(6)

Замечание: Из теории рядов Фурье известно, что произвольная, кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье
, где .

Можно заметить, что (5) и (6) есть разложения в ряд Фурье функций и , а и – коэффициенты этих разложений, значит, их можно определить по формулам

и (7).
Вывод:
Ряд
с коэффициентами
и
является решением задачи (1) – (3).

3.2