Разберем простейшее уравнение, описывающее колебание струны, закрепленной на концах, без воздействия внешних сил.
(1)
при начальных условиях
(2)
и граничных условиях
. (3)
Пояснение:
Начальное условие 
означает, что в нулевой момент времени струна имеет форму 
.
Начальное условие 
означает, что в нулевой момент времени скорости точек струны равны 
.
Граничные условия 
означают, что концы струны жестко закреплены.
Метод Фурье, или метод разделения переменных основывается на том, что решение ищется в виде
-
произведения двух функций, одна из которых зависит только от 
, а другая только от 
.
1) Найдем частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие граничным условиям (3).
Подставим в исходное уравнение .
Поделим обе части полученного равенства на 
Пояснение: Получено равенство, левая часть которого зависит только от , а правая часть – только от . Функции разных переменных могут быть равны между собой только в том случае, если они равны какому то числу, константе, обозначается эта константа 
.
Получены два уравнения:
и 
, или, после преобразований
Рассмотрим первое из них. Необходимо найти нетривиальные (не равные тождественно нулю) решения этого уравнения, удовлетворяющие условиям
.
Замечание: Это есть граничные условия .
Это задача Штурма-Лиувилля. Однако её может решить любой, изучивший курс дифференциальных уравнений.
(4)
- линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение:
Замечание: Не вдаваясь в подробности: 
.
Общее решение уравнения (4):
.
Определим значение коэффициентов 
и 
из условий .
1) 
Подставляем в общее решение и получаем: 
.
2) 
, иначе решением будет только 
.
- это, в зависимости от 
– собственные значения задачи.
Т.к. выполнение условий не зависит от коэффициента , то примем его значение равным 1.
Итак, нетривиальными решениями уравнения (4) являются функции
.
Решим уравнение 
, причем уже известно, что 
.
Общее решение уравнения (4):
.
Возвращаемся к поставленной задаче (1):
Функции
Являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям (3).
Т.к. уравнение (1) линейно и однородно, то сумма частных решений
также является решением.
Теперь стоит разобраться с начальными условиями: 
.
1)
(5)
2) 
(6)
Замечание: Из теории рядов Фурье известно, что произвольная, кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция 
, заданная в промежутке 
, разлагается в ряд Фурье
, где 
.
Можно заметить, что (5) и (6) есть разложения в ряд Фурье функций и , а 
и 
– коэффициенты этих разложений, значит, их можно определить по формулам
и 
(7).
Вывод:
Ряд
с коэффициентами
и
является решением задачи (1) – (3).
3.2
