Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.
, (1)
При начальном условии 
(2)
При краевых условиях 
U(S,t) = 
(3)
Из уравнений (3) мы видим, что данная область 0 
≤S; 0≤t≤T 
заменим данную область сеткой, в каждом внутреннем узле вычислим значение функции.
В каждом внутреннем узле сетки значение функции будет определять из конечно-разностного уравнения. Для этого диф-е уравнение аппроксимирует следующим образом:
Примем 
(4)
Уравнение (4) называется явной схемой. Данная система является устойчивой при 
Рассмотрим вариант не явной схемы:
3. Решение краевой задачи методом Фурье:
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.
Итак, будем искать решение уравнения
 ,
| (1) |
удовлетворяющее однородным граничным условиям
| U (0, t) = U (l, t) = 0
| (2) |
и начальным условиям
 .
| (3) |
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде
 ,
| (4) |
где X (x)- функция только переменного 
,
T (t)- функция только переменного 
.
Подставим (4) в уравнение (1), получим:
 .
| (5) |
Чтобы функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться тождественно, то есть для всех значений независимых переменных 
, 
. Правая часть равенства (5) является функцией только переменного x, а левая- только .
Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, то есть
 .
| (6) |
Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t).
| (7) (8) |
Граничные условия (2) дают:
.
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям
| X (0) = X (l) =0,
| (9) |
так как иначе мы имели бы T (t)≡0 и U (x, t)≡0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.
Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:
| (10) |
а также найти эти решения. Такие значения параметра 
называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (10).
Итак, найдем знак :
1 случай 
, например, 
.
Запишем характеристическое уравнение для (10):
.
Общее решение уравнения может быть записано в виде
.
Граничные условия дают:
,
то есть 
и 
.
Но в рассмотренном случае 
- действительно и положительно, так что 
.
Поэтому 
, 
и, следовательно, 
, а мы ищем нетривиальное решение.
2 случай Пусть 
.
При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид
.
Граничные условия дают:
то есть A =0 и B =0 и, следовательно, .
3 случай 
, например 
.
Характеристическое уравнение имеет вид
.
Общее решение уравнения:
.
Граничные условия дают:
.
Если 
, то 
. Поэтому 
, где n - любое целое число. Обозначим p через 
,
.
 - нетривиальное решение задачи (10),
| (11) |
определяемое с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8).
 ,
| (12) |
где 
и 
- произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1) – (3), заключаем, что функции 
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (3) и представимыми в виде произведения (4) двух функций.
Обратимся к решению в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
| (13) |
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2).
Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (13) удовлетворяла условиям (3):
 .
| (14) |
Если функции 
и 
удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
 .
| (15) |
Подставив (15) в (13), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.
