Указания к выполнению контрольной работы №1.

1. Решить данную систему линейных уравнений 2 способами: матричным методом и методом Гаусса:

Решение:

I способ (с помощью обратной матрицы).

Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных ; В - матрицу-столбец свободных членов:

А= ; Х= ; В= .

С учетом этих обозначений данная система уравнений примет матричную форму:

А * Х = В. (1)

 

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ¹0), то существует обратная матрица . Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

*А*Х= *В.

 

Но *А=Е (Е- единичная матрица), а ЕХ=Х, поэтому

Х= *В (2)

 

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу , которую находят по алгоритму:

· Находим определитель матрицы А по правилу Сарруса:

= 1*3*2 + (-2)*(-1)*1 + 2*1*(-1) – 3*1*1 – 1*(-1)*(-1) – 2*2*(-2)= 10;

· Находим матрицу , транспонированную к матрице А:

· Находим алгебраические дополнения элементов матрицы по формуле , где миноры являются определителями второго порядка, которые получаются путем вычеркивания i-строки и j-столбца в матрице А¢, и составляем из них присоединенную матрицу :

Получили присоединенную матрицу

тогда обратная матрица

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

 

Х= = *В= * =

Отсюда .

II способ (метод Гаусса):

Составляем расширенную матрицу, т.е. матрицу из коэффициентов и свободных членов уравнений системы

С помощью элементарных преобразований данную систему приводим к ступенчатому виду.

~

т.е. надо элементы первого столбца, кроме первого элемента, обратить в нули. Для этого подбираем такое число, чтобы при умножении на него всех элементов первой строки и вычитании из них соответствующих элементов второй строки, первый элемент второй строки стал равен нулю. Аналогично подбираем числа для следующих строк.

после того как обнулили первый столбец, переходим ко второму, причем первую и вторую строки оставляем без изменения. Обнуляем второй столбец аналогично первому.

 

~ После того как привели расширенную матрицу к треугольному виду, где элементы ниже главной диагонали равны нулю, находим решение системы. Начинаем с последней строки, т.к. слева от черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа - свободные члены. То получаем

0 х₁ + 0 х₂ + 10 х₃ = -20, 10 х₃ = -20, х₃= -2.

Затем переходим ко второй строке, причем уже зная х₃ = -2,

0 х₁ + (-7) х₂ +3 х₃ =-6, -7х₂ + 3·(-2)= -6, -7х₂ =0, х₃=0.

Далее находим х₁

1 х₁ – 2 х₂ + х₃ =1, х₁ – 2·0 – 2 =1, х₁=3

Ответ: х₁=3, х₂=0, х₃= -2.

1. Вычислить скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, если даны координаты векторов .

(), ,(),

если =2i –2j+k; = i+j+3k; = i+3j –4k.

Решение:

Если векторы записаны в системе орт

то они имеют координаты

.

Получаем

1. Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле

подставляем координаты векторов в формулу скалярного произведения, при этом умножив их на число, стоящее перед вектором.

()= 1× (2×1) + 1×(2×3) + 3×(2×(-4)) = 2+6 –24 = -16.

2. Векторное произведение находится по формуле

модуль или длина вектора, находится по формуле , поэтому сначала находят векторное произведение, а потом его модуль.

1. Смешанное произведение вычисляется по формуле

, тогда

Ответ: () =-16; = ; () = 228.

 

3. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8),В(5;-4),С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2)уравнение стороны АВ, АС; 3) внутренний угол А; 4) уравнение прямой, проходящей через точку С, параллельно стороне АВ; 5) уравнение высоты СД и ее длину; 6) уравнения медианы АМ.

 

Решение: 1. Расстояние d между точками М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле

|М₁М₂| =

подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

АВ=

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂,у₂), имеет вид

Подставив координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

-12x - 48 = 9y – 72, 4x +3y – 8 =0 (AB).

Подставив координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС:

x+7y- 52=0 (AC).

1. Угол a между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется с помощью формулы:

Для нахождения угловых коэффициентов k₁ и k₂ приведем полученные уравнения прямых АВ, АС к виду y=kx+ b, где k – угловой коэффициент.

АВ: , АС: , k₁= k_AB = - , k₂=k_AC = - , подставим в формулу

, Ð А = arctg 1 = 45^°.

4. Общий вид уравнения прямой Ах + Ву +С= 0. Она имеет два вектора, ее определяющие. Это вектор нормали , перпендикулярный этой прямой, и направляющий вектор , параллельный ей.

Пусть искомая прямая имеет вид А₁х +В₁у +С₁=0. Вектор нормали прямой Ах + Ву +С= 0 имеет координаты (А, В) и он также будет служить вектором нормали для прямой, параллельной данной прямой, т.е. уравнение прямой, параллельной данной, отличается только коэффициентом С. Также нам известно, что искомая прямая проходит через точку, координаты которой даны. Значит, они должны удовлетворять уравнению прямой, подставляя их в искомое уравнение, найдем коэффициент С.

Прямая АВ имеет уравнение 4x +3y – 8 =0 и точка С(10;6). Следовательно вектор нормали имеет координаты (4;3) и искомое уравнение 4х +3у +С=0.

Теперь найдем С. Подставим координаты точки С в полученное уравнение 4× 10+3 ×6 + С=0, 40+18+С=0, С= - 58.

Уравнение прямой, параллельной АВ, имеет вид

4x +3y -58=0.

5. Высота CD перпендикулярна стороне АВ, значит вектор нормали этой стороны будет параллелен высоте. Поэтому воспользуемся формулой – уравнение прямой, заданной направляющим вектором и проходящей через данную точку С

, где m,k - координаты направляющего вектора. Следовательно, уравнение высоты CD имеет вид

,

3x-30=4y-24, 3x-4y-6=0 (CD).

Длина высоты

6. Уравнение медианы АМ находим как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Точка А (-4; 8) дана, а точку М вычисляем как середину отрезка BC

Имеем точки М (7,5; 1) и А (-4, 8), следовательно уравнение AM будет

7x+11,5y+64=0.(AM)

Ответ:

1. АВ=15;

2. 4 x +3y –8 =0$

3. Ða = 45°;

4. 4x+3y+25 = 0;

5. ур-ние прямой СД, CD=10;

6. 7x+11,5y+64=0.

 

4. Решить характеристическое уравнение AB·X=C, если

А= , В= , С=

Решение: Нужно найти неизвестную матрицу Х. Для этого сначала найдем произведение матриц А и В.

Произведением будет новая матрица , каждый элемент которой находят следующим образом. Смотрим на индекс искомого элемента, он служит подсказкой, т.е. берется i-ая строка первой матрицы и умножается на j-ый столбец второй матрицы.

r₁₁= 1·2 +1·1+(-3)·4=-9, r₂₁= 3·2+2·1+2·4=16,

r₁₂= 1·3 + 1·1 +(-3) ·5=-11, r₂₂= 3·3 +2·1+2·5=21,

r₁₃= 1·1 +1·(-4)+(-3) ·(-3)=6, r₂₃=3·1+2·(-4)+2·(-3)=-11,

r₃₁=1·2+(-1) ·1+5·4=21, r₃₂=1·3+(-1) ·1+5·5=27,

r₃₃=1·1+(-1) ·(-4)+5·(-3)=-10.

Получили матрицу R= . Умножим слева обе части равенства R·X=C на матрицу R^-1 – обратную матрицу к матрице R. Получим X= R ^–1 ·C.

Вычислим обратную матрицу.

1. Находим определитель матрицы R

=-9·21·(-10)+(-11) ·(-11) ·21+16·27·6– 6·21·21-(- 9)·(-11) ·27 – 16·(-11) · (-10)=

=1890+2541+2592 –2646 –2673–1760=-56.

2. Транспонируем матрицу, т.е. меняем местами столбцы и строки с сохранением порядка.

R^’=

3. Находим алгебраические дополнения

Составляем присоединенную матрицу

4. Обратная матрица

.

Находим матрицу X. Для этого умножим R^-1 на С.

Ответ: Х= .

 

5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если .

Решение:

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно вычислить модуль векторного произведения векторов, на которых он построен. При этом напомним, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю, т.е. .

Ответ: площадь параллелограмма равна 5 кв. ед.

 

6. Даны вершины пирамиды АВСД: А(1,2,3); В(5,2,2); С(2,4,3); Д(4,5,8). Найти:

1. скалярное произведение векторов ;