Любой источник электрического сигнала может быть представлен одной из двух схем (рис. 3.17, 3.18), поскольку при определенном выборе параметров элементов эти схемы эквивалентны, т.е. ток нагрузки I н и напряжение на нагрузке U н в этих схемах одинаковы.
Схему 1 можно заменить схемой 2, если параметры схемы 2 выбраны из условий: I = E / Z i 1, Z i 2 = Z i 1.
Схему 2 можно заменить схемой 1, если параметры схемы 1 выбраны из условий: E = I Z i 2, Z i 1 = Z i 2.
Следует отметить, что эти источники эквивалентны лишь для внешней цепи. Токи, протекающие через внутренние сопротивления, как видно из схем, различны.
3.5. Методы анализа (расчета) линейных цепей при гармоническом воздействии
в общем случае расчет электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. Основными методами анализа (расчета) являются:
1. метод токов ветвей (МТВ);
2. метод контурных токов (МКТ);
3. метод узловых потенциалов (МУП);
4. метод наложения.
Название метода дается в соответствии с тем, какая величина при составлении уравнений состояния принимается за неизвестную в данном методе расчета. Рассмотрим подробнее эти методы.
Метод токов ветвей (МТВ)
Данный метод основан на применении 1-го и 2-го законов Кирхгофа. За неизвестные величины в этом методе принимаются искомые токи во всех ветвях схемы кроме ветвей, содержащих заданные источники тока. Для того чтобы задача имела однозначное решение для схемы, состоящей из N ветвей с неизвестными токами, необходимо составить N независимых уравнений.
Порядок решения данным методом.
1) Проводится топологический анализ схемы.
а) Определяют число ветвей, не содержащих источники тока: N. Во всех ветвях стрелками показывают условное положительное направление токов и нумеруют их I 1, I 2, …, IN.
б) Подсчитывают число узлов у и определяют число независимых узлов Nу = у – 1.
в) Подсчитывают число независимых контуров по формуле Nk = N – Nу. На схеме независимые контуры выделяют дугами. Стрелкой на дуге показывают положительное направление обходов элементов контуров. Эти контуры нумеруют. За положительное направление принимают направление по часовой стрелке.
2) По 1-му и 2-му законам Кирхгофа относительно токов ветвей записывают уравнения. Общее число уравнений составляет Ny + Nk = N, это означает, что записанная система относительно токов ветвей имеет однозначное решение. В общем случае для схемы из N ветвей составленные уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений N -го порядка:
где xi= Ii – искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.
3) Токи в ветвях находят по правилу Крамера
xi= 
; 
,
где D – главный определитель системы; D i – определитель, получается из главного D путем замены i -го столбца на столбец свободных членов вi.
Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.19). Определить токи во всех ветвях схемы.
1) Проведем топологический анализ.
а) N = 3; б) y = 2, Nу =1; в) Nk = N – Nу = 2.
2. Запишем систему уравнений, составленную по методу токов ветвей.
I 1 – I 2 – I3 = – J для узла 1;
Z 1 I 1 + Z 2 I 2 + 0 I 3 = E 1 – E 2для контура 1;
0 I 1 + Z 2 I 2 + Z 3 I 3 = E 2 для контура 2.
4.3.2. Метод контурных токов (МКТ)
Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.
Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют эквивалентными источниками ЭДС (рис. 3.20).
Эта схема эквивалентна, если
а) E = J Z i I;
б) Zi II = Zi I.
1) Топологический анализ схемы.
а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей N.
б) Определяют число узлов у.
в) Подсчитывают число независимых контуров Nk = N – y + 1.
Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.
Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik 1; Ik 2; IkNk.
За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.
2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nk порядка:
где Iki – контурный ток i -го контура;
Zii – собственное сопротивление i -го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i -й контур;
Zji – сопротивление смежных ветвей между i -м и j -м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;
Eki – контурная ЭДС i -го контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i -й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.
3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki= 
.
4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. Если токи оказались положительными, то выбранное направление совпадает с истинным, и наоборот. При этом находятся все токи, за исключением токов, протекающих через внутреннее сопротивление источников токов, преобразованных в источники ЭДС. Чтобы найти эти токи, необходимо вернуться к исходной схеме, тогда эти токи находятся по первому закону Кирхгофа из уже найденных внешних токов источников.
Для линейной цепи, состоящей из R, L, C и независимых источников электрической энергии матрица сопротивлений всегда квадратная и симметричная относительно главной диагонали, т.е. Zij = Zji.
Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 3.21). Определить токи во всех ветвях.
Проводим топологический анализ
а) N = 6; б) y = 4; в) Nk = 6 – 4 + 1=3.
2) Составим систему уравнений по методу МКТ
где
E 11 = E 1; E 22 = 0; E 33 = 0.
3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = .
4) Находим токи в ветвях: I 1 = Ik 1; I 2 = Ik 1 – Ik 2; I 3 = Ik 1 – Ik 3; I 4 = – Ik 2 + Ik 3;
I 5 = Ik 2; I 6 = Ik 3.
4.3.3. Метод узловых потенциалов (МУП)
Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.
Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис.3.22).
а) I = E / Zi I;
б) Zi II = Zi I.
1) Топологический анализ.
а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов Ny = y – 1.
б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где 
– потенциал нулевого узла.
2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:
,
где Yii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i -м узле, все они берутся со знаком «+»;
Yij – межузловая проводимость между i -м и j -м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;
Iii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i -м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».
3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера: 
.
4) Токи в ветвях находят по закону Ома: I = (j1 – j2)/ Z.
Пример. Дана электрическая цепь (рис.3.23). Рассчитать токи во всех ветвях.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.23 Рис. 3.24
Проведем топологический анализ.
а) число ветвей N = 4 с токами: 
;
б) число независимых узлов Nу = 2, их потенциалы: φ1 и φ2 (рис.3.24).
Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:
; 
.
По методу Крамера найдем потенциалы узлов: 
.
По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:
.
Частный случай. Исследуемая цепь может содержать идеальный источник напряжения (без последовательно включенного сопротивления), включенный между двумя узлами. В этом случае один из этих узлов целесообразно принять за базисный. Тогда узловое напряжение другого узла будет равно ЭДС источника (со знаком плюс или минус), т.е. известное. Следовательно, узел, к которому подключен источник напряжения, в этом случае оказывается зависимым, число неизвестных узловых напряжений уменьшается до n1 = N у – 1 – pин (pин – число идеальных источников ЭДС). Узловые уравнения формируются только для узлов, к которым не подключены источники напряжений. В левой части равнений в первоначальной их записи учитываются все узловые напряжения, как известные, так и неизвестные, но затем члены, содержащие известные узловые напряжения, переносят в правую часть уравнений.
Контрольные вопросы
1. каковы основные свойства линейных цепей?
2. Какие узлы и контуры называются независимыми?
3. 
Записать закон Ома в комплексной форме.
4. На каком законе основаны методы контурных токов и узловых потенциалов.
5. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 3.25.
6. 
Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.
7. Записать второй закон Кирхгофа (для контура J 1 на рис.3.26).
8. Записать уравнение по методу узловых потенциалов для узла А схемы на рис. 3.26.
9. Записать уравнения по методу контурных токов для схемы на рис. 4.35.
10. Для независимых узлов схемы на рис. 3.26 записать уравнения по 1-му закону Кирхгофа.
| a) I 1 – I 2 – I 3 = 0 I 2 + I 3 – I 4 – I 5 = 0 I 4 + I 5 – I 1 = 0 | б) I 1 – I 2 – I 3 = 0 I 2 + I 3 – I 4 – I 5 = 0 |
| в) I 1 + I 2 – I 3 = 0 I 2 + I 3 – I 4 – I 5 = 0 I 4 + I 5 – I 1 = 0 | г) I 1 + I 2 + I 3 = 0 I 2 + I 3 – I 4 – I 5 = 0 |
