Дифференциальное уравнение цепи при гармоническом воздействии
Рассмотрим линейную электрическую цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под монохроматическим (одночастотным) гармоническим воздействием x (t) = Xm cos(w0 t – j0). Дифференциальное уравнение этой цепи, составленное для любого из неизвестных токов и напряжений yi, имеет вид
,
где fi (t) – линейная комбинация функции x (t), описывающей внешнее воздействие, и ее производных. Значение n характеризует порядок сложности цепи (порядок цепи) и равно числу независимых реактивностей (емкостей и индуктивностей).
Любые линейные операции над гармонической функцией (сложение, умножение на число, дифференцирование, интегрирование) приводят к гармонической функции той же частоты, отличающейся только амплитудой и начальной фазой. Поэтому в установившемся режиме fi (t) имеет вид
.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что в этом случае имеется единственное периодическое решение
.
Следовательно, в установившемся режиме задача анализа сводится к определению амплитуд и начальных фаз интересующих токов и напряжений.
Метод комплексных амплитуд
В линейных цепях при гармоническом воздействии установившиеся напряжения и токи являются гармоническими функциями времени. Воздействие x (t) и отклик y (t) можно представить в комплексном виде:
,
.
Параметр цепи – отношение отклика к воздействию – не зависит от времени:
.
Поэтому при гармоническом воздействии в установившемся режиме токи и напряжения можно представлять их комплексными амплитудами, а параметры элементов комплексными сопротивлениями или проводимостями.
в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен символический метод комплексных амплитуд (МКА).
Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:
1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:
а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 3.2.
б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х (t) = Xm cos(w0 t + j x) ® Xm = Xm e j j x.
2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e–j j y.
3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.
Ym = Ym e –j j y ® y (t) = Ym cos(w0 t – j y).
