Числовые и функциональные ряды
- Сходимость и сумма числовых рядов.
- Свойства сходящихся рядов.
- Критерий Коши.
- Необходимый признак сходимости.
- Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, Д*Аламбера, Коши, интегральный признак.
- Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
- Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- Функциональные ряды. Область сходимости.
- Равномерная сходимость. Теоремы Вейерштрасса.
- Свойства равномерно сходящихся рядов.
- Степенные ряды.
- Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена.
- Приложения степенных рядов в приближенных вычислениях.
- Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Вопросы по теме " Элементы теории функций комплексной переменной ".
1. Действия над комплексными числами.
2. Предел функции комплексной переменной.Непрерывность.
3. Элементарные функции комплексной переменной.
4. Дифференцирование ф.к.п. Необходимые и достаточные условия.
5. Аналитические функции. Их значение.
6. Гармонические функции.
7. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ф.к.п.
8. Интеграл от ф.к.п. по контуру, его свойства и вычисление.
9. Интеграл ф.к.п. по замкнутому контуру. Теорема Коши для односвязной области.
10. Теорема Коши для многосвязной области.
11. Независимость интеграла от пути интегрирования.Формула Ньютона- Лейбница.
12. Формула Коши и ее следствия.
13. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
14. Числовые ряды. Признаки сходимости.
15. Функциональные ряды.Нахождение области сходимости.
16. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно-сходящихся рядов.
17. Степенные ряды. Теорема Абеля.
18. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
19. Ряд Лорана. Его область сходимости.
20. Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
21. Особые точки функции и их классификация.
22. Ряды Лорана и особые точки.
23. Вычеты. Вычет в простом полюсе.
24. Вычет в полюсе к-го порядка.
25. Поведение функции на бесконечности.
26. Вычисление интегралов 
27. Лемма Жордана и вычисление интегралов 
.
28. Вычисление интегралов 
, 
Вопросы по операционному исчислению.
- Преобразование Лапласа. Оригинал.
- Свойства преобразования Лапласа: линейность, теорема подобия, теорема смещения, теорема запаздывания, дифференцирование оригинала и изображения, интегрирование оригинала и изображения.
- Свертка, изображение свертки.
- Теорема обращения.
- Методы нахождения оригиналов по изображениям.
- Решение дифференциальных уравнений операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля.
- Решение систем д./у.
Вопросы по теме "Ряды Фурье
1. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом Т=2п.
2. Тригонометрический ряд Фурье для функции с периодом Т=2l.
3. Тригонометрические ряды для четных и нечетных функций.
4. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье.
5. Разложение функции в ряд Фурье, заданной на отрезке [a;b].
6. Четное и нечетное продолжение функций и их ряды Фурье.
7. Спектры периодических функций. Частота, амплитуда.
Задачи, аналогичные экзаменационным задачам.
1.Изобразите точку z=2+4i на комплексной плоскости. Найдите модуль и аргумент.этого числа.
2.Проверьте функцию 
на выполнение условий Коши-Римана.
3. Вычислите 
.
4. Исследуйте на сходимость ряд 
.
5.Найдите оригинал по изображению F(p)= 
6.Решите д.у с помощью преобразования Лапласа 
7Найдите изображение от оригинала f(t)= t+3.
8.Исследовать на сходимость 
.; 
.
9.Найти область сходимости 
; 
10.Записать ряд Фурье для 
11.Найдите ряд Фурье для 
12.Вычислите 
13.Вычислите 
14.Определите тип особых точек 
15.Найдите вычеты для .
16.Проверить, является ли функция аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке 
17. Данную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки 
.
18.Определить тип особой точки 
для данной функции.
19. Используя теорию вычетов, вычислить определенный интеграл
20. Найти изображение заданного оригинала 
21. Найти изображение заданного оригинала 
22. Найти оригинал по заданному изображению 
23. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. 
24.Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений.
25. Найти комплексную форму ряда Фурье периодической с периодом 
функции 
, заданной на промежутке 
и вычислить сумму полученного ряда в точке: 
26. Найти преобразование Фурье 
функции:
27. Найти косинус-преобразование Фурье заданной функции 
28. Исследовать на сходимость ряд: 
, 
,
29.Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001: 
