Пусть требуется найти 
и 
, удовлетворяющие системе неравенств
(5.5)
и условиям неотрицательности
, (5.6)
для которых функция
(5.7)
достигает максимума.
Решение.
Построим в системе прямоугольных координат  область допустимых решений задачи (рис.11). Для этого, заменяя каждое из неравенств (5.5) равенством, строим соответствующую ему граничную прямую 
(i = 1, 2, …, r)
| 
Рис. 11
|
Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Для координат 
любой точки А одной полуплоскости выполняется неравенство 
, а для координат любой точки В другой полуплоскости - противоположное неравенство 
. Координаты любой точки граничной прямой удовлетворяют уравнению 
.
Для определения того, по какую сторону от граничной прямой располагается полуплоскость, соответствующая заданному неравенству, достаточно «испытать» одну какую-либо точку (проще всего точку О (0;0)). Если при подстановке её координат в левую часть неравенства оно удовлетворяется, то полуплоскость обращена в сторону к испытуемой точке, если же неравенство не удовлетворяется, то соответствующая полуплоскость обращена в противоположную сторону. Направление полуплоскости показывается на чертеже штриховкой. Неравенствам 
и 
соответствуют полуплоскости, расположенные справа от оси ординат и над осью абсцисс.
На рисунке строим граничные прямые и полуплоскости, соответствующие всем неравенствам.
Общая, часть (пересечение) всех этих полуплоскостей будет представлять собой область допустимых решений данной задачи.
При построении области допустимых решений в зависимости от конкретного вида системы ограничений (неравенств) на переменные может встретиться один из следующих четырех случаев:
Рис. 12. Область допустимых решений пустая, что соответствует несовместности системы неравенств; решения нет.
Рис. 13. Область допустимых решений изобра- жается одной точкой А, что соответствует единственному решению системы.
Рис. 14. Область допустимых решений ограниченная, изображается в виде выпуклого многоугольника. Допустимых решений бесконечное множество.
Рис. 15. Область допустимых решений неограни-ченная, в виде выпуклой многоугольной области. Допустимых решений бесконечное множество.
Графическое изображение целевой функции при фиксированном значении R определяет прямую, а при изменении R - семейство параллельных прямых с параметром R. Для всех точек, лежащих на одной из прямых, функция R принимает одно определенное значение, поэтому указанные прямые называются линиями уровня для функции R.
Вектор градиента 
, перпендикулярный к линиям уровня, показывает направление возрастания R.
Задача отыскания оптимального решения системы неравенств (5.5), для которого целевая функция R (5.7) достигает максимума, геометрически сводится к определению в области допустимых решений точки, через которую пройдет линия уровня, соответствующая наибольшему значении параметра R
.
Рис. 16
Если область допустимых решений есть выпуклый многоугольник, то экстремум функции R достигается, по крайней мере, в одной из вершин этого многоугольника.
Если экстремальное значение R достигается в двух вершинах, 'то такое же экстремальное значение достигается в любой точке на отрезке, соединяющем эти две вершины. В этом случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум.
В случае неограниченной области экстремум функции R либо не существует, либо достигается в одной из вершин области, либо имеет альтернативный оптимум.
Пример.
Пусть требуется найти значения и , удовлетворяющие системе неравенств
и условиям неотрицательности
, 
,
для которых функция
достигает максимума.
Решение.
Заменим каждое из неравенств равенством и построим граничные прямые:
Рис. 17
Определим полуплоскости, соответствующие данным неравенствам, путём «испытания» точки (0;0). С учетом неотрицательности и получим область допустимых решений данной задачи в виде выпуклого многоугольника ОАВДЕ.
В области допустимых решений находим оптимальное решение, строя вектор градиента 
, показывающий направление возрастания R.
Оптимальное решение соответствует точке В, координаты которой можно определить либо графически, либо путем решения системы двух уравнений, соответствующих граничным прямым АВ и ВД:
Ответ: 
Задания. Найти положение точки экстремума и экстремальное значение целевой функции 
при заданных ограничениях.
Таблица 9.
| № варианта | Экстремум | a | b | c | Ограничения |
| Max | 2,1 | 5,5 | 1,4 |  ;  ;
 ;  ; 
| |
| Max | 3,0 | 0,9 | 1,8 |  ;  ;  ;
 ; 
| |
| Min | 4,5 | 6,7 | 0,6 |  ;  ;  ;  ; 
| |
 3
| Max | 0.8 | 5,4 | 3,1 |   ;  ;  ;  ; 
|
| Min | 1,9 | 2,6 | -1,2 |  ;  ;  ;  ; 
| |
| Min | 4,1 | 5,2 | 9,3 |  ;  ;  ;  ; 
| |
| Min | 5,4 | 1,5 | 5,7 |  ; ; ;
 ;  
| |
| Max | 3,8 | 2,9 | 1,3 |  ; ;  ;  ; 
| |
| Max | 1,4 | 5,8 | 4,2 |  ;  ;  ;  ; 
| |
| Min | 4,6 | 1,1 | 6,5 | ;  ;   ;  ; 
|
Список литературы
1. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука. 1975.
2. Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. 1978.
3. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.:Наука, 1970.
4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. – Ч.1: Наука, 1966; Ч.2: М.: Физматгиз, 1962.
5. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. - М.: Мир, 1969.
6. Турчак Л. И. Основы численных методов. – М.: Высш. шк., 1985.
7. Воробьёва Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.– М.: Высш. шк., 1979.
Содержание
1. Введение......................................................... 3
2. Приближенное решение нелинейных уравнений........................ 4
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений....................8
4. Аппроксимация функций с помощью метода наименьших квадратов......15
5. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений................. 21
6. Многомерная оптимизация, Линейное программирование...............25
Список литературы................................................. 32
