Исходные данные для выполнения расчетов

Содержание

 

Введение

1 Исходные данные для выполнения расчетов 9

2 Построение и анализ уравнений регрессии при

линейном планировании 11

2.1 Статистическая обработка результатов эксперимента 11

2.2 Вычисление коэффициентов регрессии 12

2.3 Проверка адекватности полученного уравнения 13

2.4 Проверка приемлемости линейного уравнения 14

3 Построение и анализ уравнения регрессии при

композиционном планировании 15

3.1 Общие сведения 15

3.2 Статистическая обработка результатов эксперимента 16

3.3 Вычисление коэффициентов регрессии 18

3.4 Проверка адекватности полученного уравнения 19

Заключение 20

Список использованных источников 21

Введение

Эксперимент в ходе развития науки выступал мощ­ным средством исследования явлений природы и техни­ческих объектов. Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования. Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент, возникло не случайно, а является следст­вием достигнутого уровня и масштаба эксперименталь­ных работ на современном этапе развития науки и тех­ники. Этот этап с рассматриваемой точки зрения харак­теризуется ростом общего числа проводимых эксперимен­тальных работ; увеличением количества специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью; суще­ственным усложнением объектов исследования и исполь­зуемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; настоятельной необходи­мостью всемерного увеличения эффективности и улучше­ния качества проводимых исследований; начавшимся процессом внедрения средств и систем автоматизации эк­сперимента.

Из всего сказанного понятна закономерность появле­ния нового научного направления: теории планирования эксперимента как методологической основы современных экспериментальных исследований.

Предмет исследования научного направления очевиден — эксперимент. Однако особенности планирования, постановки экспери­мента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того чтобы эксперимент стал пред­метом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чер­тами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента явля­ется необходимость:

1) контролировать любой эксперимент, т. е. исклю­чать влияние внешних переменных, не принятых исследо­вателем по тем или иным причинам к рассмотрению;

2) определять точность измерительных приборов и по­лучаемых данных;

3) уменьшать до разумных пределов число перемен­ных в эксперименте;

4) составлять план проведения эксперимента, наи­лучший с той или иной точки зрения;

5) проверять правильность (приемлемость) получен­ных результатов и их точность;

6) выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

7) анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Конечно, даже при наличии сформулированных общих черт эксперимент не стал бы предметом отдельной науки, если бы задачи, решаемые различными исследователями, не имели ничего общего и полностью определялись спе­цификой той области знаний, где они работают.

 

Однако это не так. Оказывается, можно выделить типовые зада­чи исследования, с которыми приходится сталкиваться каждому экспериментатору. К основным, наиболее рас­пространенным типовым задачам исследования обычно относят:

1) получение некоторых предварительных сведений о процессе (обработка литературных данных, опросы спе­циалистов и анализ результатов опросов, отсеивающий эксперимент);

2) получение формульных зависимостей;

3) проверку гипотез, т. е. некоторых содержательных предположений о свойствах объекта;

4) оптимизацию свойств изучаемого объекта (опре­деление оптимальных соотношений, слежение за оптиму­мом и т. д.).

Можно сказать, что теория планирования эксперимента в основном предназначена для решения типовых задач исследования (типовые приемы для типовых задач). Они не предназначены для получения кардинально новых дан­ных о свойствах природы, совершения научных открытий (хотя такая возможность и не исключается). Теория пла­нирования эксперимента может во многом облегчить ра­боту экспериментатора, повысить ее эффективность при проведении обычных экспериментов, т. е. экспериментов, которые составляют подавляющую часть современной эк­спериментальной деятельности ученых и инженеров.

Математическим аппаратом теории планирования эк­сперимента являются теория вероятностей, математиче­ская статистика, а также некоторые разделы прикладной математики.

Исторически планирование эксперимента получило свое начало в работах Р. Фишера, а затем формирова­лось и превращалось в теорию под влиянием трудов Дж. Бокса и Дж. Кифера. Большое значение в станов­лении современной теории планирования эксперимента, ее обосновании, развитии и внедрении в практику имеют работы советских ученых В. В. Налимова, Е. В. Марко­вой, Г. К. Круга, В. Д. Федорова и других. В настоящее время идеи и методы планирования эксперимента нахо­дят широкое применение в самых различных областях науки и техники.

Отыскание экстремального значения функции нескольких переменных, для которой отсутствует аналитическое выражение, методами последовательного варьирования одной переменной при фиксированных всех остальных требует выполнения большого объема опытов. В этом отношении плодотворно использование методов математической теории планирования экспериментов, которые заключаются в выборе числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных, чтобы решить поставленную задачу с минимальными затратами и требуемой точностью. В терминах теории планирования экспериментов это можно сформулировать следующим образом: при неполном знании о так называемой функции отклика.

у=f(х₁,х₂,…,х_к),

где х_i – факторы – независимые переменные, которые можно варьировать при постановке опытов, надо оптимально, в некотором смысле, управлять экспериментом с тем, чтобы получить математическую модель и в итоге найти экстремум функции отклика.

В общем случае функцию отклика, аналитическое выражение которой неизвестно, можно представить уравнением регрессии

 

у=β₀+Σ_iβ_i+Σ_ijβ_ijx_ix_j+Σ_iβ_iix_i²

i=1,2,…,k; j≠i

 

а в первом приближении – уравнением линейной регрессии

 

у=β₀+Σ_iβ_iх_i

 

или неполным квадратическим уравнением

 

у= β₀+Σ_iβ_i+Σ_ijβ_ijx_ix_j

Составление линейных планов. Чтобы устранить недостатки классического регрессивного анализа, основными из которых являются корреляция между коэффициентами регрессии и трудности в оценке расчетных значений функции отклика, используют кодированные значения факторов

 

где z_i – натуральное значение і-го фактора;

z_i1 и z_i2 –соответственно нижняя и верхняя границы измерения величины z_i (уровни ее стабилизации при проведении опытов).

Тогда значениям z_i1 и z_i2 соответствуют кодированные значения х_і1=-1 и х_і1=+1.

Матрица планирования эксперимента, строки которой содержат все сочетания факторов х_і, при которых выполняем опыты приведена в таблице 1 для простейшего случая двухфакторного плана. Она лежит в основе построения планов полных факторных экспериментов (ПФЭ) первого порядка. Например, если число факторов k=3, то эту матрицу записываем дважды, сначала дополняя ее третьим фактором х₃=-1, а затем х₃=+1 (таблица 2). Для четырехфакторного плана дважды повторяется таблица 2, дополняемая х₄=-1 (8 первых строк) и х₄=+1 (8 последующих строк) и т.д.

 

Таблица 1 - Матрица планирования двухфакторного эксперимента

№ опыта	Х1	Х2
	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1

 

Таблица 2- Построение трехфакторного плана первого порядка

№ опыта	Х1	Х2	Х3
	-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1	-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

 

Исходные данные для выполнения расчетов

Таблица 1