Метод замены плоскостей проекций

При этом методе положение объекта в пространстве не меняется, а меняется система плоскостей проекций. В каждом преобразовании можно:

- заменять только одну плоскость проекций, которым целесообразно присваивать следующие обозначения – П₄, П₅, П₆ и т.д.;

- линии связи между проекциями точки в двух плоскостях проекций всегда строятся перпендикулярно оси, разделяющей эти плоскости (в силу условия взаимной перпендикулярности плоскостей проекций);

- координата каждой точки в новой плоскости проекций равна координате этой точки в заменяемой плоскости проекций.

 

 

Рис.9. Пример оформления и решения задачи №8 (способ плоскопараллельного переноса)

План решения задачи:

1. Первое преобразование, при котором плоскость общего положения становится проецирующей. Для этого:

- построим в плоскости прямую уровня: горизонталь или фронталь;

- введем плоскость проекций П₄ перпендикулярно одной из плоскостей проекций и горизонтали (или фронтали);

- построим проекцию треугольника АВС на плоскость П₄.

2. второе преобразование, при котором проецирующая плоскость становится плоскостью уровня. Для этого:

- введем плоскость проекций П₅, расположенную перпендикулярно П₄ и параллельно плоскости треугольника АВС;

- построим проекцию треугольника АВС на плоскость П₅. Она представляет собой натуральную величину треугольника.

 

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.10.

Задача №9: Построить проекции фигуры сечения геометрического тела с плоскостью и определить натуральную величину фигуры сечения методом совмещения. Построить полную развертку усеченной части тела (любой).

 

План решения задачи:

1. Построить проекции фигуры сечения геометрического тела плоскостью.

2. Определить натуральную величину фигуры сечения методом совмещения.

3. Определить натуральные величины «неусеченных» и усеченных рёбер многогранника или усеченных образующих поверхности вращения.

4. Построить полную развертку боковой поверхности геометрического тела.

5. Построить развертку усеченной боковой поверхности геометрического тела.

6. Построить полную развертку усеченной части тела.

 

Пример оформления и решения задачи представлен на рис.11.

 

Геометрические тела можно разделить на 2 группы:

- многогранники (призма, пирамида);

- поверхности вращения (цилиндр, конус, сфера).

При пересечении многогранника плоскостью получается плоская замкнутая ломаная линия. Для её построения достаточно построить точки пересечения боковых рёбер (см. зад.№6) и сторон

основания с заданной секущей плоскостью. Точки соединяют в линию

 

Рис. 10. Пример оформления и решения задачи №8 (метод замены плоскостей проекций)

 

Рис.11. Пример оформления и решения задачи №9 (пересечение прямой призмы плоскостью общего положения)

пересечения в порядке обхода по граням поверхности, с учетом видимости.

 

При пересечении цилиндра получается:

1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;

2. две образующие, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра;

3. эллипс, если секущая плоскость не параллельна и не перпендикулярна оси вращения и пересекает все образующие (плоскость общего положения).

При пересечении сферы любой плоскостью линией пересечения всегда является окружность, которая проецируется без искажения на плоскость проекций в случае, когда секущая плоскость параллельна этой плоскости проекций. Если же секущая плоскость не плоскость уровня, то проекция – эллипс.

При пересечении конуса плоскостью получается:

1. окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения;

2. эллипс, если секущая плоскость не перпендикулярна оси вращения и пересекает все образующие;

3. две образующие (прямые), если секущая плоскость проходит через вершину поверхности;

4. гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим поверхности;

5. парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей поверхности.

Проекции кривых линий сечений строятся по отдельным точкам, которые находятся разными способами:

1) в пересечении образующих поверхностей вращения с заданной плоскостью (см. зад.№6);

2) методом вспомогательных секущих плоскостей (см.зад.№5, в) 2 способ);

3) методом замены плоскостей проекций (см.зад.№8)

Обратите внимание! Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола и парабола) – симметричные кривые, и при их построении обязательно следует находить точки, лежащие на осях этих кривых. Часто эти точки, являются опорными и определяются без дополнительных построений.

Секущие плоскости могут пересекать не только боковые поверхности геометрических тел, но и основание (основания). В этом случае вид плоской кривой не меняется, просто отсекается её часть.

 

 

Натуральную величину фигуры сечения можно найти разными методами, но при решении этой задачи требуется сделать это методом совмещения, суть которого состоит во вращении плоскости и объектов, лежащих на ней, вокруг одного из следов плоскости до совмещения ее с соответствующей плоскостью проекций. Тогда, после совмещения, истинные величины объектов (отрезков прямой линии и геометрических фигур) будут располагаться на плоскости проекций в натуральную величину.

«Совмещенный» с плоскостью проекций след плоскости проводят через две точки. Одна из них – точка схода следов Δ_x, которая принадлежит оси вращения, и, следовательно, не меняет своего положения. Другая точка берётся произвольно на совмещаемом следе, и вращением вокруг следа, выбранного в качестве оси вращения, находится её совмещенное с плоскостью проекций положение.

Обратите внимание! Если секущая плоскость – проецирующая, то «совмещенный след» перпендикулярен следу, являющемуся осью вращения, и его можно провести без предварительных построений.

«Совмещенное» положение точек объектов находим на «совмещенных» проекциях главных линий, которые проведем в заданной плоскости через эти точки. Соединив полученные точки, построим натуральную величину фигуры сечения.

 

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью без разрывов и складок.

Прежде чем строить развертку усеченного геометрического тела нужно построить полную развертку поверхности геометрического тела, которая включает в себя развертку боковой поверхности и основание (основания).

Полная развертка боковой поверхности призмы - совокупность боковых граней. В случае прямой призмы боковая грань представляет собой прямоугольник, шириной которого является длина стороны основания, а шириной – высота призмы.

Полная развертка боковой поверхности прямого цилиндра - прямоугольник, ширина которого равна длине окружности основания цилиндра, а высота – высоте цилиндра.

Полная развертка боковой поверхности пирамиды – совокупность боковых граней, которые представляют собой треугольники. Основаниями треугольников являются стороны основания пирамиды, а сторонами – натуральные величины боковых рёбер, которые нужно предварительно найти любым способом в случае, если эти рёбра не проецируются на плоскости проекций в натуральную величину (т.е. являются отрезками прямых общего положения).

Полная развертка боковой поверхности конуса – сектор, радиус которого равен натуральной величине образующей конуса, а угол – α определяется по формуле

α = 360^оr / R,

где r – радиус основания конуса, R – длина образующей конуса.

 

Для построения усеченной развертки боковой поверхности усеченного плоскостью геометрического тела находят точки пересечения рёбер (или образующих), которые затем последовательно соединяют. Следовательно, прежде, чем строить развертку усеченной боковой поверхности геометрического тела нужно найти натуральные величины усеченных рёбер многогранника и образующих поверхности вращения, участвующих в образовании фигуры сечения. Это можно сделать с помощью любого из методов нахождения натуральной величины отрезка.

Для построения полной развертки поверхности усеченного плоскостью геометрического тела к развертке боковой поверхности пристраивают натуральную величину основания (полного или усеченного, если след плоскости пересекает основание) и натуральную величину фигуры сечения.