1. Вводим одну (если хотя бы два следа пересекаются) или две вспомогательные плоскости уровня.
2. Находим линии пересечения заданных плоскостей со вспомогательной плоскостью, след которой обладает собирательным свойством.
3. Общую точку для двух плоскостей находим в пересечении линий пересечения на вспомогательной плоскости;
4. Соединив одноименные проекции полученных точек, строим проекции линии пересечения.
в) плоскости общего положения заданы другими способами (параллельными прямыми, пересекающимися прямыми, плоской фигурой и т.д.)
1 способ (основан на нахождении точки пересечения прямой с плоскостью):
1. Одну из плоскостей выбираем в качестве основной плоскости, а во второй плоскости возьмем две прямые, ей принадлежащие.
2. Находим точки пересечения первой и второй прямой с основной плоскостью, заключая их во вспомогательные проецирующие плоскости.
3. Строим линию пересечения плоскостей, соединяя полученные точки пересечения.
4. Определяем видимость заданных плоскостей на плоскостях проекций методом конкурирующих точек.
2 способ (способ секущих плоскостей) – удобен для построения линии пересечения разнесенных плоскостей.
Этот способ заключается в том, что две точки, общие для двух пересекающихся плоскостей и определяющие положение линии пересечения, находятся во вспомогательных плоскостях частного положения):
1. Вводим первую вспомогательную плоскость (как правило, плоскость уровня).
2. Находим линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостями (прямые уровня).
3. Точка пересечения этих линий принадлежит обеим заданным плоскостям и, следовательно, лежит на линии пересечения.
4. Вводим вторую вспомогательную плоскость параллельную первой вспомогательной плоскости.
5. Находим линии пересечения второй вспомогательной плоскости с заданными плоскостями (прямые уровня).
6. Точка пересечения этих линий тоже принадлежит обеим заданным плоскостям и, также, лежит на линии пересечения.
7. Соединив две точки, лежащие одновременно на двух пересекающихся плоскостях, построим линию пересечения плоскостей.
8. Определяем видимость заданных плоскостей и линии пересечения методом конкурирующих точек.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.6.
Метод конкурирующих точек для определения видимости объектов.
Для определения видимости на плоскости П1 необходимо взять конкурирующие точки, принадлежащие разным объектам, у которых совпадают горизонтальные проекции. Найдем фронтальные проекции этих точек. Горизонтальная проекция той из них будет видима, у которой фронтальная проекция выше, т.е. находится ближе к наблюдателю.
Для определения видимости на плоскости П2 необходимо взять конкурирующие точки, принадлежащие разным объектам, у которых совпадают фронтальные проекции. Найдем горизонтальные проекции этих точек. Фронтальная проекция той из них будет видима, у которой горизонтальная проекция ближе к наблюдателю (имеет большую глубину).
Невидимые проекции объекта показывают штриховыми линиями (линиями невидимого контура).
Обратите внимание! В случае, если одна из заданных пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения (плоскостью уровня или проецирующей плоскостью), одна из проекций линии пересечения плоскостей определяется сразу же, без дополнительных построений, так как она лежит на том следе плоскости, который обладает собирательным свойством.
Задача №6: Определить точку пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с заданной плоскостью. Определить видимость проекций прямой.
План решения задачи:
1. Заключить прямую, заданную отрезком АВ, во вспомогательную плоскость Δ (см. задачу №3).
Обратите внимание!
Если заданная прямая – прямая частного положения, то Δ – плоскость уровня, если заданная прямая - общего положения, то Δ – плоскость проецирующая.
2. Найти линию пересечения плоскостей: заданной и вспомогательной (см. задачу № 5);
Рис.6. Пример оформления и решения задачи №5 (а – плоскости общего положения заданы следами, которые пересекаются в пределах эпюра)
3. В пересечении заданной прямой и линии пересечения плоскостей найдем точку пересечения заданной прямой с заданной плоскостью.
4. Методом конкурирующих точек (см. задачу №5) определяем видимость проекций заданной прямой.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.7.
Задача №7: Определить расстояние от точки К до заданной плоскости.
План решения задачи:
1. Из точки К опустить перпендикуляр n на заданную плоскость.
2. Заключить перпендикуляр n во вспомогательную плоскость Δ (заключение прямой во вспомогательную плоскость рассмотрено в задаче №3).
3. Построить линию пересечения плоскостей – заданной и вспомогательной (см. задачу №5).
4. В пересечении линии пересечении плоскостей и перпендикуляра n найдем точку F, в которой перпендикуляр пересекает заданную плоскость.
5. Определить натуральную величину расстояния КF любым известным способом (методом прямоугольного треугольника, методом вращения вокруг проецирующей прямой и т.д.).
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.8.
Прямая, проведенная из любой точки пространства, перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым на этой плоскости. В качестве двух пересекающихся прямых удобно взять главные линии плоскости – горизонталь h и фронталь f. Построение проекций перпендикуляра базируется на теореме проецирования прямого угла, а именно прямой угол проецируется без искажения, т.е. в 90°, на ту плоскость, которой параллельна одна из сторон прямого угла. Поскольку горизонталь параллельна П1, то n1 перпендикулярна h1 (Г1), а фронталь параллельна П2, то n2 перпендикулярна f2 (Г2), т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра n1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикуляра n2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали. перпендикулярна f2 (Г2). Следовательно, если плоскость задана не следами, то нужно предварительно построить проекции горизонтали и фронтали плоскости (см. задачу №4)
Обратите внимание! В проецирующих плоскостях одна из прямых уровня является проецирующей прямой.
Рис.7. Пример оформления и решения задачи №6
Рис.8. Пример оформления и решения задачи №7
Задача №8: Определить натуральную величину треугольника АВС методом плоско-параллельного переноса (нечетные варианты), методом замены плоскостей проекций (четные варианты).
Метод плоско-параллельного переноса (вращения без оси)
Метод состоит в том, что объект (отрезок прямой, геометрическая фигура, плоскость) переносится в зависимости от поставленной задачи в требуемое положение (параллельно или перпендикулярно одной из плоскостей проекций). При этом: одна из проекций объекта не изменяется, а меняется лишь ее положение относительно оси проекций, а все точки другой проекции перемещаются по прямым параллельным оси проекций, и эта проекция объекта изменяется по величине.
План решения задачи:
1. Первое преобразование – преобразование, при котором плоскость общего положения становится проецирующей. Для этого:
- построим в плоскости прямую уровня: горизонталь или фронталь;
- перенесем треугольник АВС в новое положение так, чтобы горизонталь плоскости треугольника была перпендикулярна плоскости П2 (или фронталь – перпендикулярна П1).
2. Второе преобразование - преобразование, при котором плоскость проецирующая становится плоскостью уровня. Для этого:
- перенесем треугольник АВС в положение параллельное плоскости проекций П1 (П2), при этом фронтальная проекция (горизонтальная проекция) располагается параллельно оси OX, а горизонтальная проекция (фронтальная проекция) является натуральной величиной треугольника АВС.
Пример оформления и решения задачи представлен на рис.9.
