Пример 4. Вероятность того, что судно в порту будет пополнять запас пресной воды равна 0,9.

Случайные события

глава XX §§1-6. часть 2, глава V§§1 -3.

глава 1§§1-5; глава 2 §§1-3; глава 3 §§1-5; глава 5 §§1-3.

Случайным событием называется такое событие, которое при испытании может произойти или не произойти.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: или .

Событие, наступление которого гарантируется условиями данного испытания, называется достоверным. Событие, которое не может наступить в условиях данного испытания, называется невозможным.

Обозначения: –достоверное событие, – невозможное.

Событие называется противоположным событию , если оно заключатся в том, что в результате испытания событие не наступает.

Событие называется суммой событий и , если оно заключатся в том, что наступает хотя бы одно из событий или (т.е. или событие , или событие , или событие и одновременно).

Событие называется произведением событий и , если оно заключатся в том, что в результате испытания наступают оба события и .

События и называются несовместными, если невозможно их совместное наступление в одном испытании, то есть если

Аксиомы теории вероятностей:

Вероятность случайного события неотрицательна.

Вероятность достоверного события равна единице.

3. Если , то – вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероя тностей.

Следствия из аксиом. I. ; 2. ;

3. ; 4. .

Формула классической вероятности Вероятность случайного события равна отношению числа исходов, благоприятных появлению события, к числу всех исходов испытания . (1)

Пример 1. Испытание: из урны, содержащей 6 белых и 4 черных (перемешанных) шаров, наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым.

Решение.

Общее число возможных исходов равно количеству шаров в урне: .

Исход испытания благоприятствует событию , когда извлечен один из шести белых шаров, следовательно благоприятных исходов . Тогда

или = 0,6.

 

Теоремы сложения и умножения

(2)

Если события несовместны (3)

Пусть . Условной вероятностью события при условии наступления события называется отношение:

. (4)

Если , т.е. , , то

события и называются независимыми.

(5)

Если события независимы (6)

 

Пример 2. Испытание: из урны, содержащей белых и черных шаров, наугад извлекается шар, после этого извлекается еще один шар. Найти вероятность события, которое заключается в том, что оба извлеченных шара окажутся белыми.

Решение. Введем события: — первый извлеченный шар окажется белым; — второй извлеченный шар окажется белым. Тогда . По формуле (5) .

По формуле (1) . Поскольку событие уже наступило, то в урне белых и черных шаров, так что . Тогда .

Пример 3. Три стрелка произвели залп. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,4, для третьего – 0,5. Найти вероятность того, что: а) все три стрелка попали в мишень; б) только один стрелок попал в мишень; в) только два стрелка попали в мишень; г) хотя бы один стрелок попал в мишень.

Решение. Введем следующие обозначения:

A ₁ – первый стрелок попал в мишень,

A ₂ – второй стрелок попал в мишень,

A ₃ – третий стрелок попал в мишень,

Надо найти вероятности событий A, B, C, D,

A – три стрелка попали в мишень,

B – только один стрелок попал в мишень,

C – только два стрелка попали в мишень,

D – хотя бы один стрелок попал в мишень,

то есть P (A), P (B), P (C), P (D).

а) Событие A заключается в том, что одновременно произошли события A ₁, A ₂ и A ₃, поэтому оно равно произведению событий A ₁, A ₂, A ₃, т.е. A = A ₁ × A ₂ × A ₃. Результат стрельбы каждого из стрелков не влияет на результаты других стрелков, поэтому события A ₁, A ₂ и A ₃ независимые, и, следовательно

P (A ₁× A ₂× A ₃) = P (A ₁)× P (A ₂)× P (A ₃),

поскольку вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

По условию P (A ₁) = 0,3; P (A ₂) = 0,4; P (A ₃) = 0,5.

Следовательно,

P (A) = P (A ₁× A ₂× A ₃) = P (A ₁)× P (A ₂)× P (A ₃) = = 0,3×0,4×0,5 = 0,06.

б) Используя определение суммы событий, можно записать, что B = B ₁ + B ₂ + B ₃, где B ₁ – только первый стрелок попал в мишень, B ₂ – только второй стрелок попал в мишень, B ₃ – только третий стрелок попал в мишень.

События B ₁, B ₂, B ₃ – несовместны, поэтому вероятность события B можно найти по третьей аксиоме теории вероятностей: вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей

P (B) = P (B ₁+ B ₂+ B ₃) = P (B ₁) + P (B ₂) + P (B ₃).

Событие B ₁ заключается в том, что произошло A ₁ и не произошли A ₂ и A ₃, поэтому, используя определение произведения событий можно записать B ₁= A ₁× ₂ × ₃, где× _i - событие, противоположное событию A_i, состоящее в том, что событие A_i не произошло. Аналогично B ₂= ₁× A ₂× ₃, B ₃= ₁× ₂× A ₃.

Вероятности противоположных событий находим по формуле

(следствие 3 из аксиом)

P () = 1– P (A), (7)

P ( ₁) = 1 – 0,3 = 0,7; P ( ₂) = 1–0,4 = 0,6; P ( ₃) = 1–0,5 = 0,5.

События A ₁, A ₂, A ₃ – независимые, следовательно, будут независимы и события A ₁, ₂, ₃, а тогда по формуле (6)

P (B ₁)= P (A ₁× ₂× ₃)= P (A ₁)× P ( ₂)× P ( ₃) = 0,3×0,6×0,5 = 0,09.

Аналогично

P (B ₂)= P ( ₁)× P (A ₂)× P ( ₃) = 0,7×0,4×0,5 = 0,14;

P (B ₃)= P ( ₁)× P ( ₂)× P (A ₃) = 0,7×0,6×0,5 = 0,21;

Следовательно,

P (B) = P (B ₁) + P (B ₂) + P (B ₃) = 0,09 + 0,14 + 0,21= 0,44

 

в) Событие C, состоящее в том, что только два стрелка попали в мишень можно записать так

C = C ₁+ C ₂+ C ₃,

где C ₁ – только первый и второй стрелки попали в мишень,

C ₂ – только первый и третий стрелки попали в мишень,

C ₃ – только второй и третий стрелки попали в мишень

События C ₁, C ₂, C ₃ несовместны. Тогда

P (C) = P (C ₁)+ P (C ₂)+ P (C ₃).

Аналогично предыдущему можно записать, что

C ₁= A ₁× A ₂× ₃, C ₂= A ₁× ₂× A ₃, C ₃= ₁× A ₂× A ₃,

P (C ₁)= P (A ₁)× P (A ₂)× P ( ₃)=0,3×0,4×0,5=0,06,

P (C ₂)= P (A ₁)× P ( ₂)× P (A ₃)=0,3×0,6×0,5=0,09,

P (C ₃)= P ( ₁)× P (A ₂)× P (A ₃)=0,7×0,4×0,5=0,14.

Следовательно, P (C)=0,06+0,09+0,14= 0,29.

 

г) При вычислении вероятности события D – хотя бы один стрелок попал в мишень – удобнее перейти к противоположному событию . Событие – заключается в том, что событие D не происходит, т.е. – ни один из стрелков не попал в мишень.

Событие заключается в том, что одновременно произошли события ₁, ₂ и ₃, т.е. = ₁× ₂× _3.

Результат стрельбы каждого из стрелков не влияет на результаты других стрелков, поэтому события ₁, ₂ и ₃ независимые, и, следовательно,

P ()= P ( ₁)× P ( ₂)× P ( ₃)=0,7×0,6×0,5=0,21.

Для вычисления вероятности события D воспользуемся формулой (7)

P (D)= 1– P () = 1–0,21 = 0,79.

ОТВЕТ: а) 0,06; б) 0,44; в) 0,29; г) 0,79.

Формула Бернулли

глава XX §§1-6. часть 2, глава V§§1 -3.

глава 1§§1-5; глава 2 §§1-3; глава 3 §§1-5; глава 5 §§1-3

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), можно вычислить по формуле Бернулли

(10)

где q = 1 – p – вероятность того, что событие А не наступит в единичном испытании,

; , по определению, 0! = 1, 1! = 1.

Пример 4. Вероятность того, что судно в порту будет пополнять запас пресной воды равна 0,9.