Определение. Число называется пределом последовательности, если:, такое, что выполняется:.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие

(курс лекций)

Й семестр

Часть 2

для специальности:

09.03.03 «прикладная информатика в экономике»

(группы 446-1 и 446-2)

Томск

ТУСУР

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.

 

 

Оглавление.

Часть 2 (ноябрь - декабрь)

Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. 4

§1. Множества и функции. 4

§2. Пределы. 9

§3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины 23

§4. Непрерывность.

Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

§1. Введение, основные методы.

2. Частные производные и градиент.

§3. Уравнение касательной, формула Тейлора.

§4. Экстремумы и строение графика.

§5. Основные теоремы дифф. исчисления

 

Лекция № 8. 21. 10. 2016 4

Лекция № 9. 28. 10. 2016 6

Лекция № 10. 11. 11. 2016 17

Лекция № 11. 18. 11. 2016 27

 

 

Лекция № 8. 21. 10. 2016

Глава 5. Основы математического анализа.

Множества и функции.

 

Множеством называют совокупность объектов некоторого типа. Например, множество точек на плоскости, множество чисел, множество матриц.

Объединение

Пересечение

Объединение и пересечение 2 множеств показаны графически:

Разность множеств: . Показано на чертеже:

Аналогично, .

Объединение этих двух разностей называется симметрической разностью, и обозначается так: = , на чертеже:

В то же время, это множество можно получить и другим путём: из объединения удалить пересечение. То есть,

= .

Ещё обозначения: - множество А является подмножеством множества В.

 

Числовые множества.

натуральные числа

целые числа

рациональные числа

вся действительная ось, действительные числа.

Множество - иррациональные числа.

Верно следующее: .

Существует обобщение: комплексные числа вида . Комплексная плоскость.

Множества на действительной оси.

Интервал - граничные точки не включены.

Отрезок - здесь границы включены во множество.

Пример. Найти объединение и пересечение множеств ,

.

Множество вида . Числа «бесконечность» не существует, поэтому в таком множестве справа всегда должна быть круглая скобка.

Интервал вида в будущем будем называть окрестностью радиуса точки и обозначать .

Внутренние и граничные точки.

Если для точки существует окрестность, которая полностью лежит во множестве А, то есть является его подмножеством, , то такая точка называется внутренней точкой множества А. Если же для любой окрестности есть лишь частичное пересечение со множеством А, то такая точка называется граничной точкой множества. Показано на чертеже:

Функция, аргумент, образ.

Пусть даны 2 множества , . Если задан некоторый способ каждому элементу поставить в соответствие какой-то , то говорится, что задана ФУНКЦИЯ из в . Обозначение: .

называется аргументом функции, а - образом.

 

Основные элементарные функции и их графики: повторить из школьного курса (!)

Степенные , показательные , логарифмические , тригонометрические , обратные тригонометрические.

 

Лекция № 9. 28. 10. 2016

 

Если , то есть , график - кривая в плоскости.

Если функция двух переменных, то есть , её график - это поверхность в трёхмерном пространстве.

 

Монотонность.

Монотонно возрастающая функция: если то .

Монотонно убывающая функция: если то .

 

Периодичность.

Если существует такое число , что верно то функция называется периодической, - период.

Примеры. , период , , период .

О влиянии коэффициента на период. Если период равен . Если , колебания становятся чаще, а период меньше. Почему так происходит? Точка прошла расстояние , в это время - прошло в раз больше, то есть в раз больше колебаний произошло на этом отрезке, длина которого . Если наоборот, период больше, а колебания реже, чем у исходного графика.

 

Чётность и нечётность.

Чётная функция: . График чётной функции симметричен относительно оси 0y, т.е. при зеркальном отражении переходит в точно такой же график, примером может быть парабола, а также cos(x).

Нечётная функция: . График нечётной функции симметричен относительно точки (0,0), то есть после поворота на 180⁰ график был бы таким же, примером может быть кубическая парабола или любая другая нечётной степени, или например синус, тангенс.

 

Существует такое неочевидное свойство разложения на чётные и нечётные компоненты:

Свойство. Любая функция f представима в виде суммы чётной и нечётной, то есть .

Доказательство. Введём две функции: , . Первая из них чётна, вторая нечётна. Видно, что если заменить на , то для получится выражение, равное исходному, а вот для разность в числителе будет противоположна: = .

Сумма этих функций: = = = .

итак, .

Если чётную и нечётную компоненты записать для функции , то получатся так называемые гиперболический косинус и гиперболический синус: , .

 

Вообще, существует 3 способа задания функций - явный, неявный, параметрический.

Способ задания:	Явно	Неявно	Параметрически
Вид уравнения:
Пример (окружность)
Пример (прямая)

 

Для поверхностей тоже существуют эти 3 способа:

Явный: Неявный:

Параметрический: (в этом случае обязательно будет два параметра). Например, 2 параметра на сфере: широта и долгота.

 

Пределы.

Последовательность.

Множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: называется последовательностью. Её можно определить также и как функцию .

Графиком будет не кривая, а дискретный набор точек, потому что только над каждой точкой с абсциссой, равной натуральному числу, есть точка графика.

Например, - последовательность.

Арифметическая и геометрическая прогрессии тоже частный случай последовательности.

Пример: геометрическая прогрессия

В рассмотренных примерах видно, что при возрастании номера элемент убывает к 0. Однако при этом само число 0 не достигается ни при каком номере. То есть, числа 0 в этой последовательности нет. Однако, все элементы уменьшаются и приближаются к 0. В связи с этим возникает определение предела последовательности:

Определение. Число называется пределом последовательности, если:, такое, что выполняется:.

(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такой номер элемента последовательности, что для всех последующих номеров отклонение элементов от числа А меньше, чем эпсилон). В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.

 

Обозначение предела: . (lim это от английского слова limit которое хорошо известно и в русском языке - лимиты потребления света, воды и т.д.).

Если рассмотреть полосу от до по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:

Чем меньше число (погрешность меньше) тем больший номер требуется.

Пример. . По определению: если например требуемая точность то , выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.

 

* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени , что в последующие моменты времени расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.

 

Предел может и не существовать. Для последовательности , например, предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .

 

Рассмотрим последовательность

Вычислим предел. = = . Второе слагаемое в знаменателе стремится к 0. В итоге, , =1.

Таким же методом можно сокращать старшие степени и в других случаях, для произвольных степеней.

= = .

В общем случае, когда степени разные: = .

Пример. Вычислить предел

Решение. Здесь неопределённость типа . Сократим на :

= = .

Пример. Вычислить предел .

Комментарий. В выражениях с неопределённостью типа ответ не виден из самого выражения. Так, если 2 объекта от нас удаляются в бесконечность, то при этом расстояние между ними может уменьшаться, может стабилизироваться на каком-то уровне, а может возрастать. Например, для оба слагаемых стремятся к бесконечности, но и разность между ними тоже увеличивается неограниченно. А в разности оба слагаемых увеличиваются, но разность стабильна и равна 1. Поэтому при решении таких примеров снаала нужны преобразования, приводящие к виду дроби, а там уже можно сократить на какой-то множитель.

Итак, умножим на сопряжённое выражение, то есть на сумму, подобную этой разности. Тогда можно будет применить формулу сокращённого умножения, и корень исчезнет, так как он будет возведён в квадрат.

= = = =

В знаменателе содержится n и выражение, содержащее корень из 2 степени, которое по скорости роста сопоставимо с n. Сократим числитель и знаменатель на n.

= = = . Чтобы разделить корень, удобно факт деления на n представили как деление на корень из n², продолжим:

= = .

 

Вычислительный эксперимент. Чтобы луше понять понятие предела, можете вычислить выражение например, при n = 100, n = 1000 на калькуляторе. Чем больше n тем ближе к 0,5 ответ получится.

n = 100 результат 0,49876. Отклонение от 1/2 составило 0,00124.

n = 1000 результат 0,49988. Отклонение от 1/2 составило 0,00012.

 

 

Теорема 1. Пусть дано 3 последовательности, причём для любого номера n: . Если , .

Доказательство. Так как для первой и третьей последовательности предел равен А, то числа (начиная с какого-то номера) отклоняются от не больше чем на величину , то есть принадлежат интервалу . Но число находится между ними, тогда оно тоже принадлежит . Тогда по определению, для средней последовательности тоже существует предел.

 

Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

 

Примеры нарушения одного из этих двух условий.

не ограничена, предел .

не монотонна. Пределом не может быть ни одно из чисел 0 или 1. Здесь после любого элемента, среди последующих есть какой-либо, удалённый от данного на расстояние 1, то есть в определении предела было бы не «для любого », а только для >1. Колебания по высоте не уменьшаются, все последующие элементы не впишутся в узкую полосу ширины .

 

 

Предел функции при.

Число называется пределом функции , при если:

, так, что выполняется: .

Объяснение: для любой заранее заданной погрешности существует такая константа М, что правее неё график отклоняется от ординаты А не более, чем на .

Аналогично определяется предел при для левой полуоси.

 

Пример. . Два различных предела при и . . Предел на правой полуоси равен , но при этом ни в одной точке функция не принимает это значение.

 

 

Пример. Найти .Вычисление проводится таким же методом, как в случае последовательности, где было . Сократим на , получим = .

Как видим, вычислять пределы для дробно-рациональных выражений можно тем же методом, что было для последовательностей. Как видим, эта ситуация сильно напоминает то, что было в случае пределов последовательностей, только там дискретная величина а здесь непрерывная, .