Методические указания по решению задач

- фронтальная плоскость проекций – П₂,

- профильная плоскость проекций – П₃,

- дополнительные плоскости проекций: П₄, П₅, П₆ …

Проекции точек, прямых и плоскостей: на П₁ – А₁, а₁, β₁ …, на П₂ – А₂, а₂, β₂ …

Алгоритм решения задачи:

1. Преобразовать чертеж таким образом, чтобы общая сторона АВ приняла положение уровня,(черт. 1) для этого:

- начертим на листе оси координат x, y, z и согласно своему варианту возьмём координаты точек А, В, С, D;

- по координатам построим ∆АВС и ∆АВD c общей стороной АВ, в двух проекциях;

- определим видимость сторон треугольников ∆АВС и ∆АВD способом конкурирующих точек;

- построим дополнительную плоскость проекций П₄║АВ;

- построим проекцию ∆АВС и ∆АВD на плоскости П₄ ;

- определим видимость сторон треугольников ∆АВС и ∆АВD в системе плоскостей П₁П₄ способом конкурирующих точек.

Черт. 1

Внимание!

Для определения двугранного угла между плоскостями, имеющими общее ребро, необходимо применить преобразования лишь к прямой, являющейся общим ребром. А именно, если это прямая общего положения, сделать ее сначала прямой уровня, затем проецирующей прямой. В этом случае заданные плоскости также будут проецирующими, а двугранный угол определится в натуральную величину между вырожденными проекциями этих плоскостей.

- видимость фронтальной проекции сторон А₂D₂ и С₂В₂ определяем конкуренцией точек 1₁ и 2₁ (точка 1₂ принадлежащая прямой А₂ D₂ – видима);

- строим ось Х₁₄ ║А₁ В₁, при этом сторона АВ становится фронталью, поэтому на плоскости П₄ выявляется её натуральная величина;

- видимость фронтальной проекции сторон А₄D₄ и С₄В₄ определяем конкуренцией точек 3₁ и 4₁ (точка 3₄ принадлежащая прямой С₄В₄ – видима).

2.Преобразовать общую сторону АВ плоскостей ∆АВС и ∆АВD в положение проецирующей (черт.2), для этого:

- строим ось Х_{45 ┴} А₄В₄, при этом сторона АВ становится проецирующей, поэтому на плоскости П₅ проецируется в точку, а плоскости ∆АВС и ∆АВD в линии, угол между которыми определится в искомую натуральную величину.

Черт. 2

Условие задачи №2:

Определить расстояние от точки D до плоскости ∆ АВС.

Алгоритм решения задачи:

1. Построить прямую перпендикулярную к плоскости ∆АВС проходящую через точку D (черт. 3), для этого:

- начертим на листе оси координат x, y, z и согласно своему варианту возьмём координаты точек А, В, С, D;

- по координатам построим ΔАВС и точку D в двух проекциях;

- построим на чертеже проекции горизонтали h и фронтали f и через проекции точек D₁ и D₂ проведём проекции перпендикуляра.

Черт. 3

Внимание!

Условия построения на комплексном чертеже проекций перпендикуляра, проведенного к плоскости из произвольной точки пространства, базируются на теореме о проецировании прямого угла и том обстоятельстве, что одноименные прямые уровня данной плоскости (все горизонтали либо все фронтали) параллельны между собой. Поэтому, построив в заданной плоскости любую горизонталь и любую фронталь проводим проекции перпендикуляра следующим образом: горизонтальная проекция перпендикуляра составит прямой угол с горизонтальной проекцией горизонтали h₁, а фронтальная проекция перпендикуляра составит прямой угол с фронтальной проекцией фронтали f₂ (в соответствии с теоремой о проецировании прямого угла).

2. Найти точку пересечения (точку встречи) перпендикуляра с плоскостью ΔАВС и определить видимость перпендикуляра относительно плоскости ΔАВС в проекциях (черт. 4), для этого:

Внимание!

Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью определяется по правилам нахождения точки пересечения прямой с плоскостью. А именно, искомая точка К определяется с помощью вспомогательной прямой, заведомо принадлежащей плоскости

- проведём через перпендикуляр вспомогательную проецирующую плоскость (горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую);

- построим линию пересечения (3-4) данной плоскости ΔАВС и вспомогательной плоскости, (точка встречи К определится при пересечении перпендикуляра и построенной прямой (3-4));

- на чертеже через горизонтальную проекцию перпендикуляра проведём горизонтально проецирующую плоскость β₁ и построим линию пересечения (3-4) плоскости Δ АВС с проецирующей плоскостью β₁.

Черт. 4

Фронтальная проекция точки встречи К₂ лежит на пересечении фронтальной проекции перпендикуляра и фронтальной проекции линии (3₂ -4₂). Горизонтальная проекция К₁ определяется по линии связи.

Видимость перпендикуляра и плоскости ΔАВС определяется по конкурирующим точкам. Видимость горизонтальной проекции А₁С₁ стороны ΔАВС и горизонтальной проекции отрезка D₁К₁ перпендикуляра относительно горизонтальной плоскости проекций определяется конкуренцией точек 4₂ и 5₂ ( точка 5₁ принадлежащая перпендикуляру – видима).

Видимость фронтальной проекции А₂В₂ стороны ΔАВС и фронтальной проекции отрезка D₂K₂ определяется конкуренцией точек 6₁ и 7 ₁ ( точка 7₂ принадлежащая перпендикуляру – видима).

3. Определить натуральную величину отрезка от точки D до точки встречи методом прямоугольного треугольника,(черт. 5), для этого:

- на горизонтальной проекции перпендикуляра D₁К₁ строим прямоугольный треугольник D₁К₁D_o, в котором катет D₁D_o равен расстоянию Δ, а гипотенуза D_oК₁ будет равна натуральной величине отрезка DК.

Черт. 5

Условие задачи №3: