Геометрический и механический смысл производной функции

 

Итак, исторически первым появилось понятие дифференциала, за которым появилось понятие производной. Понятие производной оказалось впоследствии более актуальным. Словами определение производной можно дать следующим образом. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Еще раз напомним, что это определение записывается формулой .

Пусть задана функция и точка графика функции с абсциссой . Тангенс угла наклона секущей при стремится к тангенсу угла наклона

соответствующей касательной. Итак, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равен тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами .

Пусть тело движется прямолинейно, и путь, пройденный за время , равен . Следовательно, за время на временном промежутке пройденный путь составит . Если этот пройденный путь поделить на затраченное время , то полученная величина является средней скоростью тела на этом промежутке времени. В то же время предел этой средней скорости при стремлении промежутка времени к 0 с одной стороны, является мгновенной скоростью тела, а с другой стороны, этот предел равен производной от пройденного пути по времени, т. е. . Этот факт называется механическим или физическим смыслом производной.

 

Вычисление производной функции

 

Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.

Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.

 

Правила вычисления производной функции

 

Теорема 5. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .

Доказательство. ----

 

Теорема 6. Пусть существуют производные функций и Тогда существует производная функции и справедлива формула .

Доказательство. ----

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Теорема 7. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.

 

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

 

Доказательство. ----