Итак, исторически первым появилось понятие дифференциала, за которым появилось понятие производной. Понятие производной оказалось впоследствии более актуальным. Словами определение производной можно дать следующим образом. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Еще раз напомним, что это определение записывается формулой .
Пусть задана функция и точка графика функции с абсциссой . Тангенс угла наклона секущей при стремится к тангенсу угла наклона |
соответствующей касательной. Итак, геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции в точке равен тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами .
Пусть тело движется прямолинейно, и путь, пройденный за время , равен . Следовательно, за время на временном промежутке пройденный путь составит . Если этот пройденный путь поделить на затраченное время , то полученная величина является средней скоростью тела на этом промежутке времени. В то же время предел этой средней скорости при стремлении промежутка времени к 0 с одной стороны, является мгновенной скоростью тела, а с другой стороны, этот предел равен производной от пройденного пути по времени, т. е. . Этот факт называется механическим или физическим смыслом производной.
Вычисление производной функции
Производная функции играет важную роль в различных приложениях математики, поэтому необходимо знать – в каких случаях можно вычислить производную и как это сделать.
Мы познакомились с основными элементарными и знаем, что все элементарные функции получаются из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции (суперпозиции функций). Мы научимся вычислять производную любой элементарной функции. Для этого будет обоснована таблица производных основных элементарных функций и выведены правила вычисления производной суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций.
Правила вычисления производной функции
Теорема 5. Пусть существуют производные функций и Тогда справедливы формулы: , , , .
Доказательство. ----
Теорема 6. Пусть существуют производные функций и Тогда существует производная функции и справедлива формула .
Доказательство. ----
Таблица производных основных элементарных функций
Теорема 7. Справедливы следующие формулы для производных основных элементарных функций.
1) | 2) | 3) | 4) |
5) | 6) | 7) | 8) |
9) | 10) | 11) | 12) |
Доказательство. ----