Определение 1. Функция 
называется непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна в каждой точке интервала 
, непрерывна справа в точке 
(
) и непрерывна слева в точке 
(
).
Теорема 1. Функция , непрерывная на отрезке , ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Докажем методом «от противного». Пусть это не так, функция не является ограниченной. Тогда для каждого натурального 
найдется число 
на отрезке такое что 
. Рассмотрим полученную числовую последовательность 
, 
. Она ограничена, т. к. все ее члены лежат на отрезке , следовательно, у нее существует сходящаяся подпоследовательность 
, 
. При этом, в силу непрерывности функции на отрезке выполнено 
, что противоречит тому, что значения функции в точках этой последовательности неограниченно возрастают. Теорема доказана.
Теорема 2. Функция , непрерывная на отрезке , достигает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.
Доказательство. Как было только что доказано, множество значений непрерывной функции на отрезке ограничено. Следовательно, существуют точная верхняя и точная нижняя грани этого множества значений. Докажем, что это и есть наибольшее и наименьшее значения функции. В силу симметрии достаточно доказать существование наибольшего значения функции. По определения 
для каждого существует такое, что 
. Очевидно, что 
. В то же время последовательность , имеет сходящуюся подпоследовательность . Очевидно, что 
и теорема доказана.
Теорема 3. Функция , непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все промежуточные значения.
Доказательство. Давайте формализуем утверждение этой теоремы. Пусть функция , непрерывна на отрезке , принимает на этом свое наибольшее значение 
и наименьшее значение 
. Пусть 
. Надо доказать, что существует 
такая что 
. Это и означает, что функция принимает все промежуточные значения. Если рассмотреть функцию 
., то для непрерывной на отрезке функции 
задача превращается в следующую. Если на концах отрезка непрерывная на этом отрезке функция принимает значения разных знаков, то существует точка , в которой функция равна 0. Приступим к главной части доказательства. Разобьем отрезок пополам и в качестве отрезка 
возьмем ту его половину, на которой функция принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к 0, и на концах которых функция принимает значения разных знаков. Легко проверить, что в единственной общей точке значение функции не может быть ни положительным, ни отрицательным. Следовательно, в этой общей точке функция равна 0, теорема доказана.
