Производная сложной функции

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’_x = y’_u u’_x

Таблица производных:

№	Функция у	Производная у’
	С
	x
	un	n∙un-1∙ u’
	eu	eu∙u’
	au	au ∙ln a ∙ u’
	ln u
	loga u
	sin u	cos u∙u’
	cos u	– sin u∙u’
	tg u
	ctg u
	arcsin u
	arcos u	–
	arctg u
	arcctg u	–

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2) ’ = (x) ’ + (2) ’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2 x – 3)(3 x + 2)

y’ = ((2 x – 3)(3 x + 2)) ’ = (2 x – 3) ’ ∙(3 x + 2) + (2 x – 3)∙(3 x + 2) ’ = 2∙(3 x + 2) + (2 x – 3)∙3 = 12 x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у =

Используя правило дифференцирования (7), имеем

г) у =

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = .

д) у = (x ³ – 2 x ² + 5)⁶

Пусть x ³ – 2 x ² + 5 = и, тогда у = и ⁶. По формуле (3), получим у’ = (и ⁶) ’ = 6 u ⁵∙ u’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(x ³ – 2 x ² + 5) ’ = 6(x ³ – 2 x ² + 5)⁵∙(3 x ² – 4 x).

е)

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3 x ² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3 x ² – 1)) ’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

 

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х ³ – 12 х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3 х ² – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3 х ² – 12 = 0, откуда критические точки х ₁ = –2, х ₂ = 2. Точка х ₁ = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х ₂ = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у (2) = – 16, у (0) = 0, у (5) = 65.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее значение равно –16.

10. Исследовать функцию у = и построить ее график.

Решение. а) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х ₁ = –2 и х ₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х ² – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) = = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х ₁ = –2 и х ₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы: и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0 x + 1, т.е. у = 1.

д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ = равна нулю (у’ = 0) при х= 0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х= 0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х= 0 – точка максимума функции и f _mах (x) = = – 1.

На интервалах (–∞; –2) и (–2; 0) y' + –

функция возрастает , на интервалах -2 0 2 x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает y

е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции . Видно, что уравнение не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (–2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки меняются.

На интервалах (–∞; –2) и (2; +∞) функция выпукла вниз, на интервале (–2; 2) – выпукла вверх.

ж) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) = = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

На основании полученных данных построим график заданной функции.

у

 

 

 

-2 2 х

-1

 

11. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции .

Решение. Для приближенных вычислений воспользуемся формулой:

.

Положим . Найдем производную . Тогда . Учитывая, что , возьмем и .

Тогда:

Ответ:

12. Найти неопределенный интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) .

Справочный материал

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’ = f(x).

Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const), - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. , где с = const.

2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)

1. 2. 3. n ≠ –1; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. ; 10. 11. ; 12. (| x |< a, a ≠0); 13. (a ≠0); 14. (| x |≠ a, a ≠0); 15. .

 

Решение. а)

Чтобы найти данный неопределенный интеграл, воспользуемся методом разложения, который заключается в разложении подынтегральной функции на сумму функций и использовании свойств неопределенного интеграла 1 и 2.

= = =(св-во 2) =

= = (св-во 1) = =(используем формулы 3 и 4 из таблицы 1 н.и.)= =

= .

Ответ: = .

 

б) .

Данный интеграл вычисляется методом замены переменной (линейная замена). Обозначим выражение в скобках через t: 3 х – 1 = t, тогда d (3 х – 1)= dt => 3 dх = dt => .

= = = (по формуле 3 из таблицы 1 н.и.) = = = = .

Ответ: = .

 

в) .

Здесь при вычислении интеграла используется также метод замены переменной (нелинейная замена).

= = = = = (используем формулу 4 из табл.1 н.и.) = = .

Ответ: = .

 

г) .

Для решения этого примера нужно использовать метод интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид: .

Этот метод применяется для двух групп интегралов:

I. ; ; (где ). В этой группе в качестве u выбирают х, а остальная часть подынтегрального выражения принимается за dv ().

II. ; ; ; ; (где ). В этой группе .

В нашем случае интеграл относится к первой группе интегралов, поэтому в качестве u возьмем 5 х – 2 (u = 5 х – 2), а dv = e ^{3 x} ∙ dx.

= =

(по формуле интегрирования по частям) = =

= .

Ответ: = .

13. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) .

Справочный материал

Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница:

.

(где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел, F (x) – первообразная для функции f (x). Для нахождения первообразной F (x) используются те же методы, что и при вычислении неопределенных интегралов).

Решение.

а) = (формула 9 табл. 1 н.и.) = = .

Ответ: = .

б) Используем метод замены переменной: = =

= = (по формуле 3 табл.1 н.и.)= = = (т.к. ln1 = 0)= = .

Ответ: = .

Замечание: В отличие от метода замены для неопределенных интегралов, для определенных интегралов нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования (х), если перейти к новым пределам интегрирования (в нашем примере старыми пределами были а = 0, b = , а новыми стали а = 1, b = ).

14. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, будет четной и при этом хотя бы на одной из них появится цифра пять.

Решение. Каждый из шести исходов бросания одного кубика может сочетаться с каждым из шести исходов бросания другого кубика. Таким образом, общее число элементарных исходов испытания равно Благоприятствующими интересующему нас событию являются следующие пять исходов: Следовательно, искомая вероятность равна

15. Пользователь разыскивает нужную информацию в трех базах данных. Вероятности того, что информация содержится в й, й, й базе, соответственно равны: ; ; . Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, найти вероятность того, что информация содержится: а) только в одной базе; б) хотя бы в двух базах; в) только во 2-й и 3-й базах.

Решение

а). Введем обозначения: событие информация содержится в й базе; событие информация не содержится в й базе; событие информация содержится только в одной базе; событие информация содержится хотя бы в двух базах; событие информация содержится только во 2-й и 3-й базах.

Вероятности событий равны .

Рассмотрим событие . Информация содержится только в одной базе тогда, когда:

она содержится в первой и не содержится во второй и третьей

или

она содержится во второй и не содержится в первой и третьей,

или

она содержится в третьей и не содержится во первой и второй.

Тогда событие можно представить так . Здесь первое слагаемое – это произведение наступившего события и двух других, не наступивших событий и . Аналогично определяются второе и третье слагаемое.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим:

б) Событие наступает тогда, когда не наступает одно из двух событий:

информация не содержится ни в одной из баз (событие );

информация содержится только в одной базе (событие ).

Тогда

.

в) Событие легко выписывается через произведение вероятностей: , тогда

.

16. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится: а) точно раз; б) не менее раз и не более раз.

Решение

а) По условию , . Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: , . Найдем . По таблице для функции Гаусса:

определим значение . Искомая вероятность

б) По условию , . Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:

,

где , , – интеграл Лапласа.

В нашем случае и . По таблице определим значение и . Следовательно, .

17. Средний рост солдат равен Предположим, что рост является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Определить число солдат в группе, рост которых: а) больше 1,9 м; б) между и .

Решение.

а) Для решения воспользуемся формулой:

Подставив , получаем:

.

По таблице находим .

Следовательно, Таким образом, доля солдат с ростом выше 1,9 м равна 4,56%. То есть, среди солдат ожидаемое число солдат с ростом выше 1,9 м будет равно

б) Для решения воспользуемся формулой:

Подставив , получаем:

.

По таблице находим

Следовательно, Таким образом, доля солдат с ростом от 1,75 до 1,85 м равна 68,26%. Таким образом, среди солдат ожидаемое число солдат с интересующим нас ростом будет равно