Двухфакторные производственные функции.

 

В приведенном ниже списке функции располагаются в порядке возрастания сложности их записи и, соответственно, увеличения количества необходимых для этого параметров. Все они допускают возможность их модификации.

1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (Функция Леонтьева):

, (1)

где Параметры.

Известно несколько альтернативных систем (гипотез), которые выделяют функции этого вида:

1. предельная производительность первого фактора является кусочно-постоянной невозрастающей функцией от отношения , предельная производительность второго фактора – неубывающей кусочно-постоянной функцией от ;

2. функция является решением задачи оптимизации:

,

Где Переменная, которую оптимизируют.

3. функция является однородной, а эластичность замещения факторов равна нулю;

4. функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью вида

Путем предельного перехода: .

Функция Леонтьева предназначена В основном для моделирования строго детерминированных технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов относительно использования ресурсов на единицу продукции. Как правило, она используется для формализованного описания мелкомасштабных или целиком автоматизированных объектов.

2. Функция Кобба-Дугласа:

, (2)

Здесь также используется несколько систем гипотез, которые выделяют класс функций Кобба-Дугласа среди дважды дифференцируемых функций двух переменных:

1. эластичности выпуска по факторам являются постоянными:

, .

Решение этой системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка принадлежит к классу функций Кобба-Дугласа;

2. эластичность функции по одному из факторов является постоянной, и функция является однородной;

3. функция является однородной, а эластичности уменьшения факторов по Алену и Михайловскому равны единице;

4. предельная производительность каждого фактора является пропорциональной его средней производительности;

5. функция является однородной функцией , и как функция от при любом фиксированном ;

6. функция может быть получена из функции с постоянной эластичностью путем существования замены вида

И предельного перехода . Функция Кобба-Дугласа чаще всего Используется для формализованного описания среднемасштабных хозяйственных объектов и экономики страны в целом.

3. Линейная функция:

. (3)

Предпосылки и гипотезы:

1. предельные производительности факторов являются постоянными:

, ,

А в нуле функция равна нулю;

2. предельная производительность одного из факторов будет постоянной и однородной первой степени:

, ;

3. функция однородная, и эластичность замещения факторов по Алену является бесконечной;

4. эластичность выпуска по факторам обратно пропорциональна их средней производительности.

Линейная функция применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупные отрасли, народное хозяйство в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования большого количества разнообразных технологий. Особую роль играет гипотеза постоянства предельных производственных факторов или их неограниченного замещения.

4. Функция Алена:

(4)

Определяется такими условиями:

· скорости роста предельных производительностей являются постоянными;

· функция является однородной.

Функция Аллена при Используется для формализованного описания производственных процессов, в которых чрезмерное возрастание любого из факторов отрицательно влияет на объемы выпуска продукции (мелкомасштабные производственные системы с ограниченными возможностями переработки ресурсов).

5. Функция постоянной эластичности замещения факторов (Функция CES):

(5)

Предпосылки и гипотезы:

1. функция является однородной;

2. эластичность замещения факторов – постоянна.

Функция CES Применяется в случае отсутствия точной информации относительно уровня взаимного замещения производственных факторов, и вместе с тем есть основания считать, что этот уровень существенно не изменится при изменении объемов привлеченных ресурсов. Функция CES может использоваться для моделирования систем любого уровня.

6. Функция Солоу:

(6)

Характеризуется тем, что величина процентного изменения предельной нормы замещения факторов, которая связана с изменением одного из факторов на один процент, не зависит от начального уровня факторов.

7. Многофакторные производственные функции. Один из наиболее рациональных способов перехода от двухфакторных к многофакторным ПФ состоит в следующем.

Рассмотрим двухфакторную ПФ:

. (8)

Аргумент этой функции рассмотрим как обобщенный показатель, который зависит также от двух факторов и :

,

Где Некоторая функция. Подставляя это выражение в (8) получим трехфакторную функцию

,

Этот процесс можно продолжать. В общем виде: если задано двухфакторных функций , ,…, , то получим Факторную функцию:

В результате последовательной их подстановки. Операция такой супервозиции имеет очевидный экономический смысл: второй аргумент, например, двухфакторной функции, последовательно представляется в виде зависимости от показателей низших (детализированных) уровней.

Нетрудно проверить такие Свойства операции суперпозиции:

1. если – неубывающие функции, Также неубывающая функция;

2. если Линейно-однородные функции, а Однородная функция степени однородности , то Однородная функция степени однородности ;

3. если Вогнутые неубывающие функции, то Вогнутая неубывающая функция.

Операция суперпозиции позволяет представлять многофакторные ПФ как суперпозицию двухфакторных функций.