Загальні відомості про мережі СМО

Мережі систем масового обслуговування

 

Вище у цьому розділі розглядались методи аналізу найпростіших СМО. Проте існують системи зі складнішою структурою — мережі, кожним вузлом яких є окремі СМО. За допомогою мереж СМО моделюють багато типів транспортних, технологічних та обчислювальних систем, процеси надання медичної допомоги, обслуговування пасажирів та ін. Особливий внесок у розвиток математичних методів у теорії мереж СМО в 70-х роках XX сторіччя зробили фахівці, які займались моделюванням обчислювальних систем.

Аналіз мереж СМО є набагато складнішим, ніж окремих СМО. Отримати результати в замкненому вигляді можна лише для мереж з кількістю вузлів не більше трьох. За більшої кількості вузлів використовуються чисельні методи, що значно ускладнює розрахунки. Крім того, аналіз мереж СМО можливий лише в. тих випадках, коли ймовірнісні процеси в мережах є ергодичними, незалежними і протікають за відомими законами розподілу ймовірностей.

Усі потрібні для розрахунків величини (наприклад, параметри розподілів і рівняння, які пов'язують ці величини) також мають бути визначені кількісно. Однак на практиці зробити це не завжди вдається. Наприклад, шляхом вимірювань параметрів функціонування реальної системи неможливо визначити, що тривалість обслуговування запитів — це вибірка значень з послідовності незалежних експоненціально розподілених випадкових величин.

Операційний аналіз, який розглядається далі, вперше було запропоновано для обчислювання показників роботи комп'ютерів і комп'ютерних систем. Він надає математичний апарат для аналізу технічних і економічних систем багатьох типів і дозволяє легко визначити показники їх роботи.

 

Загальні відомості про мережі СМО

 

У загальному випадку мережу СМО можна зобразити у вигляді графа, вершинами якого є одноканальні або багатоканальні СМО (дуги визначають потоки пересування вимог).

Найпростіша мережа утворюється шляхом послідовного з'єднання кількох СМО (рис. 8.1). Таку мережу ще називають багатофазовою СМО. Розрізняють замкнені та розімкнеш мережі. Для замкненої стохастичної мережі не існує зовнішніх джерел вимог, тобто в ній завжди знаходиться однакова кількість вимог. Замкнена мережа ізольована від зовнішнього середовища. У розімкненій мережі (рис. 8.1) існують джерела і стоки вимог.

 

 

Рис.8.1 Розімкнена мережа СМО

 

Найпростіша замкнена мережа, яку зображено на рис. 8.2, має тільки два вузла. Перший вузол містить М пристроїв для обслуговування, в другий - N.

 

 

Така мережа є відомою моделлю СМО з відмовами та відновленням. Пристрої для обслуговування М можуть виходити з ладу та відновлюватись із заданими інтенсивностями у випадкові моменти часу. У цій мережі постійно знаходяться М вимог, які з'являються в разі відмови пристроїв обслуговування. Якщо пристрій виходить з ладу, до бригади з Nремонтниками надходить вимога на його ремонт, після завершення якої пристрій відновлює свою роботу. На рис. 8.2 це позначено зворотним зв'язком від N пристроїв. Дана мережа може використовуватись і для моделювання комп'ютерної системи, яка працює в режимі «запит-відповідь». У такій системі користувач не надсилає нового запиту до системи доти, доки не отримає відповіді на попередній запит. Запити обробляють будь-які з N комп'ютерів. Прикладами таких систем можуть бути автоматизовані системи продажу квитків, системи передавання транзакцій від касирів у банку та ін.

 

Рис. 8.2. Найпростіша замкнена мережа СМО

 

Мережа СМО (рис. 8.3) містить К вузлів, а також N вимог. Кожний вузол може містити один або кілька однакових пристроїв для обслуговування. З імовірністю (або частістю) q_0j вимоги надходять до будь-якого вузла в мережі

СМО, а з імовірністю q_kj (j =) вимога, яка залишає вузол k, прямує до вузла j Таким чином, кожна вимога в процесі обслуговування в мережі проходить кілька вузлів.

Зовнішнє середовище позначається як вузол 0 мережі. Якщо мережа замкнена, то вимоги від виходу надходять до входу (рис. 8.3, пунктирна лінія) і кількість вимог N у мережі не змінюється.

Рис. 8.3. Схематичне зображення мережі СМО

У сталому режимі роботи мережі для потоків вимог справедливі закони про сумарні потоки (рис. 8.4):

 

Рис. 8.4. Розгалуження та підсумовування потоків вимог вузла мережі

Для розрахунків мереж СМО використовується теорія стохастичних мереж, яка ґрунтується на марківських або напівмарківських процесах [21], але більшість результатів отримано тільки для експоненціальних законів розподілу надходження та обслуговування вимог. Операційний аналіз [ЗО], на відміну від теорії масового обслуговування базується на моделюванні логіки роботи системи. Це дає змогу встановити прості залежності між параметрами і показниками роботи системи, не абстрагуючись від процесів її функціонування.