Аналіз вузьких місць у мережі

 

Пошук вузьких місць у мережі є важливим аспектом аналізу її роботи. Вузьке місце утворюється тим вузлом мережі, коефіцієнт завантаження якого наближається до одиниці. У цьому вузлі створюється велика черга вимог, яка за умови Z ≥ 1 стає нескінченною, тому мережа переходить у нестійкий режим роботи. Такий вузол стає «насиченим» вимогами. За впливом вузьких місць у мережі визначають її пропускну здатність. Тому під час аналізу роботи мережі потрібно особливу увагу приділяти пошуку таких місць.

Покажемо на простому прикладі, як вузьке місце впливає на пропускну здатність мережі. Розглянемо трубопровід, в якому є труби різного діаметра, що доставляють воду споживачу. Зрозуміло, що споживач не отримає води більше, ніж її може пропустити вузька труба. Це так званий ефект вузької шийки. Тому під час аналізу таких систем велике значення має балансування потоків у мережі. тобто знаходження такого балансу потоків у вузлах, при якому середній час перебування в мережі є мінімальним або її пропускна здатність максимальна.

Наведемо співвідношення, яке пов'язує коефіцієнти використання вузлів з коефіцієнтами відвідування цих вузлів:

Якщо пристрій к буде «насиченим» вимогами, тобто його коефіцієнт використання становитиме приблизно 1, то під час виконання гіпотези про баланс потоків інтенсивності вихідного потоку та обслуговування будуть практично збігатись, тобто

У разі збільшення кількості вимог, які одночасно обслуговуються в мережі, першим досягне насичення той вузол d, що буде мати максимальне значення величини Ψ_іS_i, i = тобто

 

 

 

У випадку збільшення кількості вимог значення коефіцієнта використання Z _d дорівнює приблизно 1 і I_d= 1/П_d. Оскільки I₀/I_d=1/Ψ_d, то

 

Таким чином, у разі великої кількості вимог N вихідний потік вимог від мережі повністю визначається вузлом d, що є вузьким місцем.

Визначимо мінімальний середній час перебування вимоги Г₀, якщо в мережі є лише одна вимога, через коефіцієнти відвідування окремих вузлів і час обслуговування у вузлі:

На рис. 8.8 зображено графік залежності продуктивності мережі від кількості вимог. У разі збільшення N інтенсивність I₀ монотонно зростає до граничної асимптоти 1/ тобто доти, доки на цю інтенсивність не почне впливати потенційне вузьке місце вузла d. На рис. 8.8 через N* позначено кількість вимог, за якої вузьке місце ще не впливає на пропускну здатність мережі.

Для замкненої мережі з кількістю пристроїв М=1 час перебування вимоги мережі = . У разі збільшення М потік вимог від мережі зростатиме, але не

ревищуватиме І₀ = 1/ Таким чином,

Г^´ ≥М - Ω ≥ M - Ω,

Отже, у випадку збільшення М середній час перебування вимоги в мережі має асимптоту MΨ_dП_d - Ω. На рис. 8.9 зображено залежність середнього часу перебування вимоги в замкненій мережі від кількості пристроїв М. Асимптота, як: створює вузьке місце в мережі, перетинає вісь абсцис у точці

 

Рис. 8.8 Графік залежності від продуктивності мережі від кількості вимог

Рис. 2.22 Залежність часу перебування вимог від кількості пристроїв у замкненій мережі

 

 

Вищезазначений підхід до пошуку вузьких місць у мережі є досить простим. Покажемо це на прикладах.

Приклад 8.3

Розрахуємо характеристики замкненої мережі, зображеної на рис. 2.23, де наведено значення операційних змінних.

 

Рис. 8.10 Приклад мережі СМО

 

Запишемо рівняння балансу потоків вимог для коефіцієнтів відвідування цієї мережі:

=0,55 ;

=0,44

 

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримаємо

 

Обчислимо значення ψ_kП_k для кожного з вузлів мережі:

Ψ₁П₁ = 20 · 0,05 = 1с.

Ψ₂ П₂ = 11 · 0,08 = 0,88с.

Ψ₃ П₃ = 8 · 0,04 = 0,32с

Таким чином, мінімальний середній час перебування однієї вимоги в мережі Г ₀ = 1 + 0,88 + 0,32 = 2,2 с. Оскільки Ψ₁П₁ > Ψ₂ П₂ > Ψ₃ П₃ потенційним вузьким місцем у мережі є перший вузол.

За допомогою методу операційного аналізу можна знайти відповідь, наприклад, на такі запитання.

1. Яка середня кількість пристроїв М для обслуговування взаємодіє з мережею протягом усього часу спостереження? Нехай за допомогою вимірювань визначено, що I ₀ = 0,715 вимоги/с, а середній час перебування вимоги в мережі становить Г = 5,2 с.

Згідно з формулою (8.15) маємо

 

М = (Г+Ω)І₀ = (5,2 +20) · 0,715 = 18 пристроїв.

 

2. Чи можна забезпечити середній час перебування вимог у мережі, який дорівнюватиме 8с, якщо кількість пристроїв для обслуговування становить 30? Чому повинен дорівнювати максимальний середній час обслуговування вимоги в першому вузлі, щоб це стало можливим?

Згідно з формулою (8.15) маємо:

 

Г ≥ = 10c.

 

Таким чином, у разі взаємодії з мережею 30 пристроїв для обслуговування середній час перебування вимоги в ній становитиме понад 10 с.

Позначимо через П₁допустимий середній час обслуговування вимоги. Тоді можна записати

тобто максимально можливий середній час обслуговування вимоги у вузлі 1 становить 0,047 с.

Для цього випадку на рис. 8.11 зображено графіки для асимптоти середнього часу обслуговування вимог.

 

Рис.8.11 Графіки для середнього часу обслуговування вимог

Приклад 8.4

Припустимо, що в мережу, крім вимог від пристроїв для обслуговування, надходять ще і вимоги від вузла 3 (рис. 8.12). Параметри, позначені штрихом, характеризують вимоги вузла 3. Вимірювання, які провадились для реальної обчислювальної системи, працюючої в режимі «запит-відповідь», свідчать, що вузол 3 завантажений практично повністю, а час відповіді системи дорівнює 7 с. Як у цих умовах завантажений вузол 1 і якого значення набуває величина І₀?

Рис. 8.12 Приклад мережі СМО

 

На рис. 8.12 видно, що . Звідси = 0,01 с, = 0,1 с. Таким чином, потенційно вузьким місцем для вимог вузла З є сам вузол 3.

.

 

Оскільки І₀ = І₃ / ψ₃ = І₁/ψ₁, то І₃ = 7,392 вимоги/ с, І₁ = 18,48 вимоги/с.

Завантаженість вузла 3, що створюється вимогами від пристроїв для обслуговування, має дві складові від різних потоків вимог. Для першого потоку

Z₃ = I₃П₃ = 7,392 ·0,04 = 0,296.

Для другого потоку завантаженість цього вузла Z₃ = 0,704. Оскільки вимоги від вузла 3 циркулюють у замкненому контурі, то за умови замкнутості мережі маємо

.

 

Визначимо коефіцієнт використання вузла І:

Таким чином, розраховано завантаженість вузла 1 та інтенсивність потоку .

 

Запитання та завдання до самоконтролю

 

1. Опишіть сутність мереж СМО.

2. Розкрийте сутність аналізу мереж СМО та основних операційних змінних.

3. Охарактеризуйте операційні залежності.

4. Знайдіть середній час перебування Г і середню кількість вимог у мережі N (рис.8.6) за данними.

а) М = 15; Ω= 30 с.; q_et = 0,3, q_gt = 0,5; q_nt = 0,7; ψ_e = 10; ψ_g =15;ψ_n = 12. Вузол t завантажений на 40%, середній час обслуговування вузлом t вимог, які надходять, становить 15 мс.

б) М = 25; Ω= 25 с.; q_et = 0,6, q_gt = 0,8; q_nt = 0,5; ψ_e = 17; ψ_g =20;ψ_n = 15. Вузол t завантажений на 50%, середній час обслуговування вузлом t вимог, які надходять, становить 20 мс.

5. Розрахуйте характеристики замкненої мережі, зображеної на рис. 8.10, де Ω = 15 с., q₁₂ = 0,6; q₁₃ = 0,2; q₁₀ = 0,2; П₁ = 0,06 с.; П₂ = 0,05 с.; П₃ = 0,06 с.