Системою масового обслуговування (СМО) називається будь-яка система, яка призначена для обслуговування будь-яких заявок (вимог), що надходять до неї у випадкові моменти часу. Приклади СМО: телефонна станція; бюро ремонту; білетна каса; залізнична станція; депо по ремонту рухомого складу, ПЕОМ тощо. Теорія масового обслуговування займається вивченням випадкових процесів, що проходять в СМО.
Будь-який пристрій, що безпосередньо займається обслуговуванням заявок, називається каналом обслуговування (або „приладом”). СМО бувають одно- і багатоканальними. Приклад одноканальної СМО – білетна каса з одним касиром; приклад багатоканальної – білетна каса з декількома касирами.
Розрізняють СМО з відмовленням і СМО з чергою. В СМО з відмовленням заявка, яка надійшла у мить, коли усі канали зайняті, отримує відмову, покидає СМО й в подальшому не приймає участі в її роботі. В СМО з чергою заявка, що надійшла в систему у мить, коли усі канали зайняті, не покидає СМО, а стає у чергу й чекає поки не звільниться будь-який канал. Число місць у черзі m може бути як обмеженим, так й необмеженим. При m=0 СМО з чергою перетворюється на СМО з відмовленням. Черга може мати обмеження не тільки за кількістю заявок, що стоять в неї (по довжині черги), але й за часом очікування (такі СМО називаються „системами з нетерплячими клієнтами”).
СМО з чергою розрізняються не тільки за обмеженнями черги, але й по дисципліні обслуговування: обслуговування у порядку надходження, або у випадковому порядку, або деякі з них обслуговуються позачергово (так звані „СМО з пріоритетом”). Пріоритет може мати декілька градацій або рангів.
Аналітичне дослідження СМО є найбільш простим, якщо усі потоки подій, які приводять її з одного стану в інший, - простіші (стаціонарні пуассоновські). Це означає, що інтервали часу між подіями у потоках мають показовий розподіл з параметром, який дорівнює інтенсивності відповідного потоку. Для СМО це припущення означає, що як поток заявок, так й поток обслуговувань – простіші. Під потоком обслуговувань розуміється потік заявок, які обслуговуються одна за одною одним безперервним каналом обслуговування. Цей потік буде простішим тільки якщо час обслуговування заявки Т 
являє собою випадкову величину, що має показовий розподіл. Параметр цього розподілу 
є величина, зворотня середньому часу обслуговування:
де 
Замість „потік обслуговувань – простіший” часто говорять „час обслуговування – показовий”.
Якщо усі потоки подій простіші, то процес, який протікає в СМО, являє собою марковський випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом. При виконанні деяких умов для такого процесу існує фінальний стаціонарний режим, при якому як ймовірності станів, так й інші характеристики процесу не залежать від часу.
Задачі теорії масового обслуговування – знаходження ймовірностей різних станів СМО, а також встановлення залежності між заданими параметрами (кількістю каналів n, інтенсивністю потоків заявок 
, розподілом часу обслуговування й т.д.) та характеристиками ефективності роботи СМО. У якості таких характеристик можуть розглядатися, наприклад, такі:
- середнє число заявок А, яке обслуговується СМО в одиницю часу, або абсолютна пропускна здатність СМО;
- ймовірність обслуговування заявки, що надійшла Q, або відносна пропускна здатність СМО; Q= A / ;
- ймовірність відмови 
, тобто ймовірність того, що заявка, яка надійшла, не буде обслужена, отримує відмову; 
;
- середнє число заявок в СМО (таких, що обслуговуються або таких, що чекають у черзі) 
;
- середнє число заявок у черзі 
;
- середній час перебування заявки в СМО (у черзі або під обслуговуванням) 
;
- середній час перебування заявки у черзі 
;
- середнє число зайнятих каналів 
.
У загальному випадку усі ці характеристики залежать від часу. Але багато СМО працюють у незмінних умовах достатньо довгий час, й тому для них встигає встановитися режим, який близький до стаціонарного.
Для будь-якої відкритої СМО (інтенсивність потоку заявок, який надходить на неї, не залежить від станів самої СМО) у граничному стаціонарному режимі середній час перебування заявки у системі 
виражається за допомогою формули Литтла:
, (5.32.)
де - інтенсивність потоку заявок.
Аналогічна формула (яка теж називається формулою Літтла) пов’язує середній час перебування заявки в черзі і середнє число заявок у черзі:
= / , (5.33)
Формули Литла дозволяють обчислювати одну з характеристик: або середній час перебування заявки в СМО, або середнє число заявок у будь-який відкритій СМО (одноканальній, багатоканальній, при будь-яких видах потоків заявок і обслуговувань): єдина вимога до цих потоків – вони повинні бути стаціонарними.
Аналогічне універсальне значення для відкритих СМО має формула:
, (5.34)
де 
- інтенсивність потоку обслуговувань.
Велика кількість задач теорії масового обслуговування, які стосуються простіших СМО, розв’язуються за допомогою схеми загибелі та розмноження, яка була розглянута вище.
Розглянемо формули, які виражають фінальні ймовірності станів і характеристики ефективності для деяких типів СМО, що часто зустрічаються.
1. Простіша СМО з відмовленням (задача Ерланга). На п канальну СМО з відмовленням надходить простіший потік заявок з інтенсивністю ; час обслуговування – показовий з параметром 
.
Стани СМО нумеруються по числу заявок, які знаходяться в СМО (в силу того, що черга відсутня, нумерація співпадає з числом зайнятих каналів):
- СМО вільна;
- зайнятий один канал, інші вільні; …
- зайнято k каналів; інші вільні (
); …
- зайняті усі n каналів.
Фінальні ймовірності станів виражаються формулами Ерланга:
(5.35)
де 
Характеристики ефективності:
2. Простіша одно канальна СМО з необмеженою чергою.
На одно канальну СМО надходить простіший потік заявок з інтенсивністю . Час обслуговування – показовий з параметром . Довжина черги не обмежена. Фінальні стани існують тільки при 
(при 
черга зростає необмежено). Стани СМО нумеруються за числом заявок в СМО, які або знаходяться у черзі, або обслуговуються:
- СМО вільна;
- канал зайнятий, черги нема;
- канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі; …;
- канал зайнятий, k-1 заявок стоять у черзі; …
Фінальні ймовірності станів виражаються формулами:
,
де 
(5.36)
Характеристики ефективності СМО:
(5.37)
(5.38)
середнє число зайнятих каналів (або ймовірність того, що канал зайнятий)
(5.38)
3. Простіша одно канальна СМО з обмеженням по довжині черги.
На одноканальну СМО надходить простіший потік заявок з інтенсивністю ; час обслуговування – показовий з параметром . У черзі m місць. Якщо заявка приходить у мить, коли усі ці місця зайняті, вона отримує відмову й покидає СМО. Стани СМО:
- СМО вільна;
- канал зайнятий, черги нема;
- канал зайнятий, одна заявка стоїть у черзі; …;
- канал зайнятий, k-1 заявок стоять у черзі; …;
- канал зайнятий, m заявок стоять у черзі.
Фінальні ймовірності станів існують при будь-якому 
й дорівнюють:
(5.39)
Характеристики ефективності СМО:
(5.40)
Середнє число зайнятих каналів (ймовірність того, що канал зайнятий)
(5.41)
Середнє число заявок у черзі:
Середнє число заявок у СМО:
(5.42)
За формулою Літтла
; 
(5.43)
4. Простіша багатоканальна СМО з необмеженою чергою
На n – канальну СМО надходить простіший потік заявок з інтенсивністю ; час обслуговування однієї заявки – показовий з параметром . Фінальні ймовірності існують тільки при 
, де .
Стани СМО нумеруються за часом заявок у СМО:
Sn+1 – зайняті усі n каналів одна заявка стоїть у черзі;...;
Sn+r – зайняті усі n каналів, r заявок стоїть у черзі;...;
Фінальні ймовірності станів виражаються формулами:
(5.44)
Характеристики ефективності СМО
; (5.45)
; (5.46)
; (5.47)
5. Простіша багатоканальна СМО з обмеженням по довжині черги.
Умови та нумерація станів такі ж, що й у п. 4 з тією різницею, що число m місць у черзі обмежено.
Фінальні ймовірності станів існують при будь-яких та 
й виражаються формулами:
(5.48)
де 
Характеристики ефективності СМО:
(5.49)
(5.50)
(5.51)
(5.52)
6. Багатоканальна СМО з відмовленням при простішому потоці заявок та довільному часі обслуговування. Формули Ерланга (5.34) залишаються справедливими й тоді, коли потік заявок – простіший, а час обслуговування Тобсл. має довільний розподіл з математичним очікуванням 
.
7. Одноканальна СМО з необмеженою чергою при простішому потоці заявок і довільному часі обслуговування.
Якщо на одноканальну СМО надходить простіший потік заявок з інтенсивністю , а час обслуговування Тобсл розподіляється за довільним законом з математичним очікуванням 
і коефіцієнтом варіації 
, то середнє число заявок у черзі виражається формулою Полячека-Хінчина
, (5.53)
де 
а середнє число заявок в СМО:
(5.54)
З формул (5.53) і (5.54) по формулі Літтла отримуємо:
(5.55)
8. Одноканальна СМО при довільному (пальмовському) потоці заявок і довільному часі обслуговування.
Точних формул для цього випадку не існує, наближена оцінка довжини черги може бути здійснена за формулою:
(5.56)
де 
коефіцієнт варіації інтервалу між подіями у вхідному потоці; 
; - величина, зворотня математичному очікуванню цього інтервалу; - величина, зворотня середньому часу обслуговування; - коефіцієнт варіації часу обслуговування. Середнє число заявок, пов’язаний зі СМО.
(5.57)
а середній час перебування заявки у черзі й у СМО відповідно дорівнюють:
(5.58)
(5.59)
9. Простіша багатофазова СМО з чергою.
Аналіз багатофазової СМО у загальному випадку утруднений тим, що вхідний потік наступної фази є вихідним потоком попередньої й в загальному випадку має післядію.
Але якщо на вхід СМО з необмеженою чергою надходить простіший потік заявок, а час обслуговування показовий, то вихідний потік такої СМО – простіший, з тією ж інтенсивністю , що й вхідний. З цього виходить, що багатофазову СМО з необмеженою чергою перед кожною фазою, простішим вхідним потоком заявок і показовим часом обслуговування на кожній фазі можна аналізувати як просту послідовність простіших СМО.
Якщо черга до фази обмежена, то вихідний потік цієї фази перестає бути простішим й вищевказаний прийом може застосовуватися тільки як приблизний.
Розглянемо приклади розрахунку деяких СМО
Приклад 5.9. На вхід одноканальної СМО з відмовленням надходить простіший потік заявок з інтенсивністю ; час обслуговування – показовий з параметром . У вихідний момент часу t=0 канал вільний. Побудувати розмічений граф станів СМО. Написати й розв’язати дифференціальні рівняння Колмогорова для ймовірностей станів СМО. Знайти фінальні ймовірності (для сталого режиму) й характеристики СМО: А, Q, Рвідм., .
Розв’язок. Стани СМО: s0 – вільна; s1 – канал зайнятий. Граф станів наданий на рис. 5.20.
Рис. 5.17. Граф одноканальної СМО з відмовленням
Рівняння Колмогорова:
Так, як Р0+Р1 = 1 для будь-якого t, можна виразити Р1 через Р0 й отримати одно рівняння для Р0:
(5.61)
Розв’язуючи це рівняння, отримуємо Р0 як функцію t:
звідки
.
При t 
отримуємо фінальні ймовірності
;
, (5.62)
які можна було б знайти й простіше, розв’язуючи лінійні алгебраїчні рівняння для фінальних ймовірностей станів:
;
.
Позначимо , тоді:
Характеристики ефективності СМО:
Приклад 5.10 Залізнична сортувальна гірка, на яку подається простіший потік складів з інтенсивністю 
склада на годину, являє собою одноканальну СМО з необмеженою чергою.
Час обслуговування (розпуску) складу на гірці має показовий розподіл із середнім значенням 
Знайти фінальні ймовірності станів СМО, середнє число складів, пов’язаних з гіркою, середнє число складів у черзі, середній час 
перебування складу в СМО, середній час 
перебування складу у черзі.
Розв’язок. 
З формул (5.35) р0 = 1-2/3 = 1/3; р1= (2/3) 
З формул (5.36), (5.37) 
Приклад 5.11. Розглядається одноканальна СМО з відмовленням. На її вхід надходить простіший потік заявок з інтенсивністю . Час обслуговування – показовий з параметром . Канал, що працює, може час від часу виходити з ладу (відмовляти); потік відмовлень каналу – простіший з інтенсивністю 
.
Ремонт канала, який вийшов з ладу, починається миттєво після його відмови; час ремонту Тр – показовий з параметром 
Заявка, яка обслуговувалася у мить виходу з ладу, залишає СМО не обслуженою.
Знайти фінальні ймовірності станів СМО:
S0 – канал вільний; S1 – канал зайнятий, справний; S2 – канал ремонтується й характеристики СМО: A й Q.
Розв’язок. Граф станів СМО наданий на рис. 5.18.
а)
- потік обслуговувань б)
- потік відмовлень
Рис. 5.18. Граф станів СМО
Алгебраїчні рівняння для фінальних ймовірностей станів:
(5.63)
до них додається нормовочна умова
(5.64)
Виразимо ймовірності Р1,Р2 з (5.63) через Р0:
Підставимо Р1 й Р2 у (5.64), отримуємо:
(5.65)
Для того, щоб знайти відносну пропускну здатність Q, необхідно ймовірність Р0 того, що заявка буде прийнята до обслуговування, помножити на умовну ймовірність 
того, що заявка, яка була прийнята до обслуговування, фактично буде обслужена (канал не відмовить за час обслуговування заявки).
Знайдемо цю умовну ймовірність по інтегральній формулі повної ймовірності. Зробимо гіпотезу, яка міститься у тому, що час обслуговування заявки попав на ділянку від t до t+dt; ймовірність цієї гіпотези приблизно дорівнює f(t)dt де f(t) щильність розподілу часу обслуговування: 
Умовна ймовірність того, що канал не відмовить за час t дорівнює 
звідси: 
Цю умовну ймовірність можна знайти простіше: вона дорівнює ймовірності того, що почата обслуговування закінчиться раніше, чим канал відмовить.
Зобразимо на осі 0t (рис.5.18.б) композицію двох потоків: потоку обслуговувань з інтенсивністю (позначений хрестиком) й потоку відмовлень з інтенсивністю (позначений колами). Зафіксуємо будь-яку точку t на осі 0t і знайдемо ймовірність того, що перший після неї хрестик прийде раніше, чим коло. Вочевидь, що вона дорівнює співвідношенню інтенсивності потоків хрестиків до сумарній інтенсивності потока хрестиків й кіл: 
Таким чином,
Приклад 5.12. Умови попереднього прикладу повторюються, але з тією різницею, що канал може виходити з ладу й у неробочому стані (з інтенсивністю 
Розв’язок. Граф станів СМО наданий на рис. 5.19.
Рис. 5.19. Граф станів СМО.
З рівнянь 
знайдемо фінальні ймовірності:
.
Приклад 5.13. СМО-взуттєвий магазин, у якому кожний покупець проходить три фази обслуговування: 1) примірювання й вибір взуття; 2) сплата грошей в касу та 3) отримання придбаного взуття на контролі. В магазин надходить простіший потік покупців з інтенсивністю =45 чол./год.
У відділі примірювання є 4 стільці, займаючи які покупці самостійно можуть вибирати та примірювати взуття. Середній час примірювання й вибору взуття 
= 5 хв. Покупець, який вибрав взуття, прямує в касу, де вдругоряд становиться у чергу (каса у магазині одна).
Середній час оплати товару у касі 
= 1 хв. Після сплачування покупець йде на контроль, де становиться у нову чергу і отримує покупку. На контролі працюють три продавці; середній час видавання покупки 
= 2 хв. Усі потоки подій – простіші.
Розглядаючи магазин як трифазову СМО, знайти характеристики її ефективності: 
- середнє число покупців у черзі до першої (другої, третьої) фази обслуговування; 
- середнє число покупців, пов’язаних з першою (другою, третьої) фазою обслуговування; 
- середній час очікування покупця у черзі до першої (другої, третьої) фази обслуговування; 
- середній час перебування покупця у першій (другій, третій) фазі обслуговування;
- загальне середнє число покупців у всіх трьох чергах;
- загальне середнє число покупців у магазині;
- загальний середній час перебування покупця у чергах.
- загальний середній час, який витрачає покупець для придбання взуття у магазині.
Додатково, необхідно дати відповіді на такі запитання: 1) У якому ланцюгу й як необхідно покращити обслуговування з тим, щоб скоротити витрати часу покупців? 2) Як можливо врахувати той факт, що не усі покупці знаходять для себе необхідне взуття, й якась частка 
з них (0< <1) залишає магазин без покупки.
Розв’язок. Так як усі потоки подій – простіші, то вихідні потоки усіх трьох фаз теж будуть простішими, й можна розглядати три послідовні фази як три окремі СМО із своїми характеристиками.
1. Перша фаза. Так як у відділі примірювання налічується 4 стільця, то кількість каналів n1 = 4.
Далі, маємо 
; 
=45/12= 15/4 
3,75;
= /n1= 15/16 <1. За формулами (5.44) – (5.48) знаходимо:
2. Друга фаза. = 45; n2 = 1; P2 = 0,75<1. За формулами (5.44) – (5.48) отримуємо:
3. Третя фаза. n3 = 3; = 45; 
3 -3/2; 
3 =0,5<1.
За формулами (5.44) – (5.48) знаходимо 
Знаходимо загальну середню чисельність черги:
.
Аналогічно знаходимо середнє число покупців в магазині:
Середній час перебування покупця у черзі:
хв.
Середній час перебування покупця у магазині:
1. Покращити обслуговування можливо, якщо зменшити час перебування покупця у першій фазі, яка являє собою найбільш слабкий ланцюг СМО. Простіший спосіб уникнути цього – збільшити число n 1, стільців у відділі примірювання, тобто число каналів обслуговування у першій фазі. Наприклад, при n1 = 5 отримуємо: 1 =3,75; 
2. Врахувати наявність покупців , які залишають магазин без покупки, можна, помножив інтенсивність вхідного потока другої та третьої фаз на (1- ).
Приклад 5.14. На залізничну сортувальну станцію надходить ерланговський 10-го порядку потік складів з інтенсивністю = 1,2 скл/год. Час обслуговування складу Тобсл. розподілений в інтервалі від 0 до 1 год. на заказ із щильністю 
, який наданий на рис.5.23. Оцінити приблизно (за формулами (5.58) – (5.61)) характеристики ефективності станцій – середнє число складів на станції, у черзі , середній час 
перебування склада на станції, середній час 
очікування складом черги на обслуговування.
Розв’язок. Для закону 
, який поданий на рис. 5.23., маємо 
= 1,3; = 
=0,8<1
Рис. 5.20 Закон розподілу щільності часу обслуговування рухомого складу.
Для потока Ерланга 10-го порядка 
.
Знаходимо характеристики СМО:
Приклад 5.15. Залізнична каса має два віконця, у кожному з яких продають білети у два пункти: Харків та Львів. Потоки пасажирів, які купують білети у Харків і Львів однакові по інтенсивності, яка дорівнює 
= 0,45 пас./ хв.. Середній час обслуговування пасажира (продаж йому білета) 
= 2 хв.
Надійшла раціоналізаторська пропозиція: для зменшення черг (в інтересах пасажирів) зробити обидві каси спеціалізованими: у першій касі продавати білети тільки у Харків, а у другій касі продавати білети тільки у Львів. Враховуючи у першому наближені усі потоки подій простішими, перевірити доцільність цієї пропозиції.
Розв’язок. 1) Обчислимо характеристики черги для двоканальної СМО (існуючий варіант). Інтенсивність потоку заявок 
, фінальні імовір-ності існують.
За формулою (5.44):
за формулою (5.46)
2) У другому варіанті (що передбачається) маємо дві одно канальні СМО:
Середня довжина черги у одній касі (за формулою (5.37) дорівнює
Сумарна довжина черги до обох кас буде 2 =16,2 час.
Час перебування пасажира у черзі (5.37) 
, що майже в двічі перебільшує час перебування у черзі в існуючому варіанті.
Висновок: „раціоналізаторську пропозицію” необхідно відкинути, як таку, що значно знижує ефективність існуючої СМО, яка пояснюється тим, що ми позбавили касирів можливості підміняти один одного.
Приклад 5.16. На вхід СМО (рис.5.20) подається простіший потік заявок з інтенсивністю 
. Обслуговування складається з двох послідовних фаз, які виконуються СМО1 і СМО2.
Рис. 5.20 Граф СМО
В СМО1 здійснюється обслуговування заявки, а в СМО2 контролюється якість проведеного в СМО1 обслуговування. Якщо в СМО2 не виявлено недоліків в обслуговуванні, то заявка вважається такою, що обслужена в СМО; якщо в СМО2 виявлені недоліки в обслуговуванні, то заявка повертається на повторне обслуговування в СМО, (рис.5.20). Ймовірність того, що заявка, яка була оброблена у СМО1, буде в результаті контролю в СМО2 , повернена на повторне обслуговування в СМО1 , дорівнює (1-Р) й не залежить від того, скільки разів вона була оброблена в СМО1.
СМО1 і СМО2 являють собою n1 і n2 – канальні СМО з необмеженою чергою та інтенсивністю потоків обслуговувань в кожному каналі 
і 
відповідно, час повторного обслуговування заявки в каналі в СМО, і повторного контролю якості обслуговування заявки в каналі в СМО2 розподілено (также як й при проведенні таких операцій вперше) по показовому закону з параметрами і відповідно. Визначити умови існування стаціонарного режиму розглянутої СМО, вважаючи, що потоки заявок, які надходять в СМО1 і СМО2, простіші.
Розв’язок. Позначимо 
інтенсивність потоку заявок, що надходить на СМО1. В вочевидь, що > , бо на вхід СМО1 будуть надходити заявки, що направляються на вхід СМО1 вперше (інтенсивність потоку ), плюс потік заявок, спрямований на повторне обслуговування (рис.5.20). Якщо стаціонарний режим існує, то інтенсивність потоку заявок, які обслужені в СМО 1 (
) буде дорівнювати інтенсивності . Потік обслужених в СМО1 надходить в СМО2, тобто на вхід СМО2 надходить потік заявок з інтенсивністю 
= = . В силу наявності стаціонарного режиму в СМО2 інтенсивність потоку заявок на виході СМО2 (
) буде також дорівнювати 
. Таким чином,
= 
= = 
. (5.66)
В вочевидь, що інтенсивність потоку обслужених заявок 
на вході СМО в стаціонарному режимі буде дорівнювати інтенсивності вхідного потоку .
Інтенсивність потоку обслужених в СМО заявок буде дорівнювати інтенсивності потоку заявок на виході СМО2 (), помноженої на ймовірність Р того, що заявка не буде повернена в СМО1 на повторне обслуговування:
= = . (5.67)
звідки = /Р.
Таким чином (див. формули (5.66) – (5.67),
= /Р. (5.68)
Для того щоб існував стаціонарний режим роботи СМО, необхідно, щоб як СМО1, так й СМО2 „справлялися” з потоком надходження на них заявок; тобто, повинні виконуватися дві умови:
;
.
Вони витікають з того, що як СМО1, так й СМО2 являють собою n1 –й n2 – канальні СМО з інтенсивністю обслуговування в каналах 
і відповідно, з необмеженими чергами (див.п.4).
Приклад 2.9. Для умов попереднього прикладу визначити середній час перебування заявки в СМО і середнє число заявок, які знаходяться в СМО.
Розв’язок. Середній час однократного перебування заявки в СМО1 
(див. рис.5.20) буде визначатися з умови, що на вхід цієї системи надходить простіший потік заявок з інтенсивністю 
число каналів обслуговування n1, інтенсивність обслуговування , число місць у черзі необмежено. Для цих умов у відповідності з (5.44)-(5.47) маємо:
де 
.
Аналогічно розраховуємо величину 
- середній час однократного перебування заявки у СМО2 для умов 
; 
; :
де 
.
Таким чином, середній час однократної обробки заявки в СМО1 і СМО2 буде: 
.
З умов задачі слідує, що випадкова величина Х – число циклів обробки однієї заявки в СМО1 і СМО2 буде мати геометричний розподіл, який починається з одиниці з параметром Р.
Позначимо 
, 
..., 
- час першого, другого,...,k-го циклу обробки заявки в СМО1 і СМО2 . З умов задачі випадкові величини Т1,...,Тk незалежні однаково розподілені й мають математичне очікування 
.
Час перебування заявки в СМО (з урахуванням можливих повернень заявки на повторне обслуговування) можна записати у вигляді 
, тобто воно являє собою суму випадкового числа випадкових додатків, де число додатків Х не залежить від випадкових величин Т1,Т2,Т3... Тоді 
Для розглянутої СМО формула Літтла також справедлива, тому середнє число заявок, які знаходяться в СМО, буде визначатися за формулою:
.
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Назвати основні характеристики та показники ефективності системи масового обслуговування.
2. Назвати основні характеристики систем масового обслуговування з відмовами.
3. Назвати основні характеристики систем масового обслуговування з обмеженим часом очікування.
4. Назвати основні характеристики систем масового обслуговування з обмеженням по довжині черги.
5. Розв’язати такі задачі:
Задача 5.1 Одноканальна СМО з відмовами являє собою одну телефонну лінію. Заявка – виклик, який надійшов в момент, коли лінія зайнята, отримує відмову. Інтенсивність потоку викликів λ = 0,8 (викликів на хв.). Середня тривалість розмови 
= 1,5 хв. Усі потоки простіші. Визначити граничні при t→ 
) значення:
1) відносної пропускної здатності q;
2) абсолютної пропускної здатності А;
3) імовірність відмови Рвідм.
Порівняти фактичну пропускну здатність СМО із номінальною, яка була б, якщо кожна розмова тривала точно 1,5 хв, й розмови слідували б одна за одною без перерви.
Задача 5.2. Повторюються умови задачі 5.1. (λ=0,8, μ = 0,667), але замість одноканальної СМО (n = 1) розглядається трьохканальная (n = 3), тобто число ліній зв’язку збільшено до трьох, знайти ймовірності станів, абсолютну і відносну пропускну здатності, ймовірність відмови і середнє число зайнятих каналів.
Задача 5.3. Автозаправна станція (АЗС) являє собою СМО з одним каналом обслуговування (одна колонка). Майданчик при станції допускає перебування у черзі на заправку не більше 3-х машин одночасно (m = 3). Якщо у черзі знаходиться 3 машини, то чергова машина, яка прибула до станції, у чергу не становиться, а проїзжає повз. Потік машин, які прибувають для заправки, має інтенсивність λ = 1 (машина за хвилину). Процес заправки триває, у середньому 1,25 хв. Визначити:
- ймовірність відмови;
- відносну і абсолютну пропускну здатність СМО;
- середнє число машин, що очікують заправки;
- середнє число машин, які знаходяться на АЗС (включаючи й ту, що обслуговують);
- середній час очікування машин у черзі;
- середній час перебування машини на АЗС (включаючи й обслуговування).
Задача 5.4. На залізничну сортувальну гірку надходять залізничні склади з інтенсивністю λ = 2 (склади на год). Середній час, на протязі якого гірка обробляє склад, дорівнює 0,4 год. Склади, що прибули в момент, коли гірка зайнята, становляться у чергу і очікують у парку прийняття, де є три запасні колії, на кожній з яких може очікувати 1 склад. Склад, який прибув в момент, коли усі три запасні колії у парку прибуття зайняті,становиться у чергу на зовнішню колію. Усі потоки подій простіші. Знайти:
- середнє число складів, які очікують черги (як у парку прибуття, так й зовні нього);
- середній час очікування складу у парку прибуття та на зовнішніх коліях;
- середній час знаходження складу на сортувальній станції (включаючи очікування й обслуговування);
- ймовірність того, що склад, що прибув, займе місце на зовнішніх коліях.
Задача 5.5. Є простіша n – канальна СМО з чергою; інтенсивність потоку заявок λ, потока обслуговувань μ = 1/tобсл.. Час перебування заявки у черзі у черзі обмежено деяким строком Т, який розподілений за показовим законом з параметром υ (на кожну заявку, що знаходиться у черзі, діє «потік покидань» з інтенсивністю υ).
Написати формули для фінальних ймовірностей станів, знайти відносну пропускну здатність СМО, середню довжину черги, середній час перебування заявки у черзі, середнє число заявок в СМО і середній час перебування заявки в СМО.
