Марковські випадкові процеси

Теорія систем масового обслуговування

 

При проведенні наукових досліджень важливе місце посідають моделі систем масового обслуговування (СМО). Такі системи моделюють процеси транспортних систем, вокзалів, аеропортів, заправочних станцій тощо, тобто процеси обслуговування в черзі.

Існує розвинутий математичний апарат теорії масового обслуговування, що дає змогу аналізувати ефективність функціонування СМО певних типів і визначити залежність між характеристиками потоку вимог, кількістю каналів (пристроїв для обслуговування), їх продуктивністю, правилами роботи СМО та їх ефективністю.

 

Потоки подій. Марковські випадкові процеси

 

У класичній теорії масового обслуговування широко застосовується так званий пуассонівський (найпростіший) потік вимог, в якому кількість вимог m для будь-якого проміжку часу t має розподіл Пуассона:

Де λ – інтенсивність потоку вимог (кількість вимог, які надійшли до системи за одиницю часу).

Потоки подій

 

Потоком подій називається послідовність однорідних подій, які з’являються одна за одною у випадкові моменти часу.

Потік подій наочно зображується рядом точок з абсцисами (рис.5.1). Інтервалами між ними є , .

 

 

Рис. 5.1. Потік подій

 

При його ймовірносному описуванні потік подій може бути поданий як послідовність випадкових величин .

З потоком подій можна пов’язати різні випадкові події, наприклад:

А={ на протязі часу від t₀ до t₀+ τ надійде хоча б один виклик};

B={ на протязі того ж часу надійдуть рівно дві події}.

Ймовірності таких подій можна обчислити.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його ймовірності характеристики не залежать від вибору початку відліку, або, більш конкретно, якщо ймовірність попадання того або іншого числа подій на будь-який інтервал часу залежить тільки від довжини цього інтервалу й не залежить від того, де саме на осі він розташований.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарний інтервал двох або більше подій зневажливо мала у порівнянні з ймовірністю попадання однієї події. Практично ординарність потоку означає, що події з’являються „поодинці”, а не групами по два, по три й т.д.

Ординарний потік подій можна інтерпретувати як випадковий процес Х(t) – число подій, які з’явилися до моменту t (рис. 5.2.)

 

Рис. 5.2. Інтерпретація ординарного потоку подій.

 

Потік подій називається простішим, якщо він стаціонарний, ординарний й не має післядії.

У потоці відсутня післядія, якщо ймовірність надходження визначеної кількості подій за деякий проміжок часу τ не залежить від кількості подій, які вже надійшли до системи, тобто не залежать від передісторії.

Інтервал часу Т між двома сусідніми подіями простішого потоку має показовий розподіл

(при t > 0) (5.1)

де величина, яка зворотня середньому значенню інтервала Т.

Ординарний потік подій без післядії називається пуассонівським. Простіший потік є частинним випадком пуассонівського (а саме стаціонарний пуассонівський потік).

Інтенсивністю потоку подій називається середнє число (математичне очікування числа) подій, які припадають на одиницю часу. Для стаціонарного потоку = const; для нестаціонарного потоку інтенсивність у загальному випадку залежить від часу: = (t).

Миттєва інтенсивність потоку (t) визначається як межа відношення середнього числа подій, які виникли за елементарний інтервал часу (t, ) до довжини цього інтервалу, коли вона прямує до нуля. Середнє число подій, що виникають на інтервалі часу , який слідує безпосередньо за моментом t₀ (див. рис 5.1) дорівнює α (t₀, )= . Якщо потік подій стаціонарний, то .

Ординарний потік подій називається потоком Пальма (або рекуррентним потоком), або потоком з обмеженою післядією, якщо інтервали часу Т_1,Т₂ ,..., між послідовними подіями (рис.5.1.) являють собою незалежні, однаково розподілені випадкові величини. У зв’язку з однаковістю розподілів Т_1,Т₂ ,..., потік Пальма завжди є стаціонарним. Простіший потік є частим випадком потоку Пальма; у ньому інтервали між подіями розподілені по показовому закону (5.1), де - інтенсивність потоку.

Потоком Ерланга k-го порядку називається потік подій, який отримується „проріджуванням” простішого потоку, коли зберігається кожна k-та точка (подія) в потоці, а усі проміжні відкидаються (рис.5.3).

 

Рис. 5.3. Потік Ерланга 4-го порядка.

 

Інтервал часу між двома сусідніми подіями в потоці Ерланга k-го порядку являє собою суму k незалежних випадкових величин Т₁ , Т₂ ,..., Т_k, які мають показовий розподіл з параметром :

(5.2)

Закон розподілу випадкової величини Т називається законом Ерланга k-го порядку й має щильність

(при t > 0) (5.3)

 

Математичне очікування, дисперсія й середнє квадратичне відхилення випадкової величини Т (1.2.) відповідно дорівнюють:

(5.4)

 

Коефіцієнт варіації випадкової величини (1.2) дорівнює

(5.5)

Звідки при , тобто при збільшені порядку потока Ерланга „ступінь випадковості” інтервалу між подіями наближається до нуля.

Якщо одночасно з „проріжуванням” простішого потоку змінювати його масштаб по осі 0t (діленням на k), отримуємо нормований потік Ерланга k-го порядку, інтенсивність якого не залежить від k. Інтервал часу між сусідніми подіями в нормованому потоці Ерланга k-го порядку має щильність

(при t>0) (5.6)

Числові характеристики випадкової величини

дорівнюють

(5.7)

При збільшенні k нормований потік Ерланга необмежено наближається до регулярного потоку з постійним інтервалом між подіями.

 

Марковські випадкові процеси

 

Випадковий процес, який протікає у будь-якій фізичній системі S, називається марковськими (або процесом без післядії), якщо він має такі властивості: для будь-якого моменту часу t₀ ймовірність будь-якого стану системи у майбутньому (при t > t₀ ) залежить тільки від її стану у теперішньому часі (t = t₀ ) й не залежить від того, коли й яким чином система S прийшла у цей стан (інакше: при фіксованому теперішньому часі майбутнє не залежить від передісторії процесу – від минулого).

Розглянемо марковські процеси з дискретними станами s₁ , s₂ ,…, s_n. Такі процеси зручно ілюструвати за допомогою графа станів (рис.5.4), де прямокутниками (або кружками) позначені стани s₁ , s₂ ,…, системи S, а стрілками – можливі переходи із стану в стан (на графі позначаються тільки безпосередні переходи, а не переходи через інші стани).

 

Рис. 5.4. граф станів системи S

 

Іноді на графі станів відмічають не тільки можливі переходи із стана в стан, але й можливі затримки у теперішньому стані; це зображується стрілкою („петлею”), спрямованою з даного стану у нього ж (рис.5.5)

Рис. 5.5. Зображення затримки процесу у теперішньому стані S_i.

 

Число станів системи може бути скінченим, та й безскінченим (але таким, що його можна перелічити).

Марковський випадковий процес з дискретними станами та дискретним часом звичайно називають марковським ланцюгом. Для такого процесу моменти t_1, t₂ , …, коли система S може змінювати свій стан, зручно розглядати як послідовні кроки процесу, в якості аргументу, від якого залежить процес, доцільно розглядати не час t, а номер кроку: 1,2,...,k....

Випадковий процес у цьому випадку характеризується послідовністю станів

s(0), s(1), s(2),…,s(k),…, (5.8.)

де s(0) – вихідний стан системи (перед першим кроком)

s(1) – стан системи безпосередньо після першого кроку;

s(k) – стан системи безпосередньо після k-го кроку.

Подія {S(k) = s_i} = {відразу після k-го кроку система знаходиться у стані s_i}, (і = 1,2,...), є випадковою подією, тому послідовність станів (5.8) можна розглядати як послідовність випадкових подій. Вихідний стан s(0) може бути як заданий раніше, так й випадковим. Про події послідовності (5.8) говорять, що вони утворюють марковський ланцюг.

Розглянемо процес з n можливими станами s₁,s₂ ,... s _n. Якщо позначити X(t) номер стану, в якому знаходиться система S в момент t, то процес (марковський ланцюг) описується цілочисельною випадковою функцією X(t) > 0, можливі значення якої дорівнюють 1,2,...n. Ця функція здійснює стрибки від одного цілочисельного значення до іншого у задані моменти t₁ , t₂ ,…(рис. 1.6.) і є безперервною зліва, що відмічено точками на рис. 5.6.

 

 

 

Рис.5.6. Значення функції Х(t) у часі

 

Розглянемо одномірний закон розподілу випадкової функції X(t). Позначимо P_i (k) ймовірність того, що після k-го кроку (й до (k+1)-го) система S буде у стані s _i (). Ймовірності P_i (k) називаються ймовірностями станів ланцюга Маркова. В очевидь, що для будь-якого k:

. (5.9)

Розподіл ймовірностей станів на початку процеса

Р₁(0), Р₂(0),...Р_і(0),...,Р_n(0) (5.10)

називається вихідним розподілом ймовірностей марковського ланцюга. Зокрема, якщо вихідний стан s(0) системи S точно відомий, наприклад s(0) = s_i, то вихідна ймовірність P_i (0) = 1, а усі інші дорівнюють нулю.

Ймовірністю переходу на k-му кроці із стана S_i в стан S_j називається умовна ймовірність того, що система S після k-го кроку опиниться у стані s_j при умові, що безпосередньо перед цим (після k-1 кроків) вона знаходилася у стані s_j. Ймовірності переходу іноді називають також „перехідними ймовірностями”.

Марковський ланцюг називається однорідним, якщо перехідні ймовірності не залежать від номера кроку, а залежать тільки від того, з якого стану і в який стан здійснюється перехід:

(5.11)

Перехідні ймовірності однорідного марковського ланцюга P_ij утворює квадратну таблицю (матрицю) розміру n x n

(5.12)

Сума перехідних ймовірностей у будь-якій стрічці матриці дорівнює одиниці:

(5.13.)

Матриця, яка має такі властивості називається стохастичною, а й мовірність P_ij є ймовірністю того, що система, яка прийшла до даного кроку у стан s_i, в ньому же й затримується на черговому кроці.

Якщо для однорідного ланцюга Маркова задані вихідне розподілення ймовірностей (5.12), то ймовірності станів системи Р_і (k) можуть бути визначеними за рекуррентною формулою

(5.14)

Для неоднорідного ланцюга Маркова ймовірність переходу в матриці (5.12) і формулі (5.14) залежить від номера кроку k.

При фактичних обчисленнях по формулі (1.14) необхідно у неї врахувувати не всі s_i, а тільки ті, для яких перехідні ймовірності відмінні від нуля, тобто ті на яких на графі станів ведуть стрілки у стан s_j.

Марковський випадковий процес з дискретними станами та безперервним часом іноді називають „безперервним ланцюгом Маркова”.

Для такого процесу ймовірність переходу із стана s _i у стан s _j для будь-якого моменту часу дорівнює нулю. Замість ймовірності переходу P _ij розглядають щильність ймовірності переходу , яка розглядається як границя відношення ймовірності переходу із стана s_iу стан s _j за малий проміжок часу , який примикає до моменту t, до довжини цього проміжку, коли вона прямує до нуля.

Щильність ймовірності переходу може бути як постійною ( = const), так і такою, що залежить від часу [ = (t)].

У першому випадку Марковський випадковий процес з дискретними станами й безперервним часом називається однорідним.

Типовий приклад такого процесу – випадковий процес X(t), який являє собою число подій, що з’явилися до моменту t, у простішому потоці (рис.5.2)

При розгляданні випадкових процесів з дискретними станами й безперервним часом, зручно уявити собі переходи системи S із стану в стан як такі, що здійснюються під впливом деяких потоків. При цьому щильності ймовірностей переходу отримують смисл інтенсивностей _ij відповідних потоків подій (як тільки здійснюється перша подія в потоці з інтенсивністю _ij, система із стану s _j скoком переходить в s _i).

Якщо усі ці потоки є пуассонівськими (тобто ординарні й без післядії, постійною або залежною від часу інтенсивністю) то процес, що протікає у системі S, буде марковським.

Розглядаючи марковські випадкові процеси з дискретними станами й безперервним часом, дуже зручно користуватися графом станів, на якому проти кожної стрілки, що веде із стану в s _і в s _j, поставлена інтенсивність потоку подій, який переводить систему по даній стрілці (рис. 5.7). Такий граф станів називається розмічений.

Рис. 5.7. Розмічений граф системи S.

 

Ймовірність того, що система S, яка знаходиться у стані s_i, за елементарний проміжок часу (t,t+dt) перейде у стан S_j (елемент ймовірності переходу з S_i у S_j) є ймовірність того, що за цей час dt з’явиться хоча б одна подія потоку, який переводить s з s_i у s_j. З точністю до безмежно малих вищих порядків ця ймовірність дорівнює dt.

Потоком ймовірності переходу із стану s_i у s_j називається величина Р_і(t) (тут інтенсивність може бути такою, що залежить, або не залежить від часу).

Розглянемо випадок, коли система S має скінчене число станів s₁ , s₂ ,…, s_n. Для опису випадкового процесу, який протікає у такій системі, застосовуються ймовірності станів

, (5.15)

 

де - ймовірність того, що система S у момент t знаходиться у стані s _i:

 

(5.16)

Вочевидь, для будь-якого t

(5.17)

Для знаходження ймовірностей (5.15) необхідно розв’язати систему диференційних рівнянь (рівнянь Колмогорова), які мають вигляд:

або, опускаючи аргумент t у змінних Р₁

(5.18)

Нагадуємо, що інтенсивність потоків можуть залежати від часу t (аргумент t для короткості опущений).

Рівняння (5.18) зручно складати, користуючись розміченим графом станів системи й таким мнемонічним правилом: похідна ймовірність кожного стану дорівнює сумі усіх потоків ймовірності, які йдуть із інших станів у дане, мінус сума усіх потоків ймовірності, які йдуть з даного стану у інші. Наприклад, для системи S, розмічений граф станів, який поданий на рис. 5.7., система рівнянь Колмогорова має вид:

(5.19)

Так як для будь-якого t виконується умова (5.7), то можна будь-яку з ймовірностей (5.15) виразити через інші й таким чином зменшити кількість рівнянь на одне.

Для розв’язання диференційних рівнянь (5.18) для ймовірностей станів Р₁(t), Р₂(t),..., Р_n(t), необхідно задати вихідний розподіл ймовірностей

Р₁(0), Р₂(0),..., Р_n(0), (5.20)

Сума яких дорівнює одиниці:

Якщо, зокрема, у вихідний момент часу t=0 стан системи S у точності відомий, наприклад, s(0)=s_i, то Р_i (0) = 1, а інші ймовірності (5.20) дорівнюють нулю.

У багатьох випадках, коли процес, що протікає у системі триває достатньо довго, виникає запитання про граничну поведінку ймовірностей Р_i (t) при t . Якщо усі потоки подій, які переводять систему із стана у стан, є простішими (тобто стаціонарними пуаcсонівськими з постійними інтенсивностями ), у деяких випадках існують фінальні (або граничні) ймовірності станів,

(5.21)

які не залежать від того, в якому стані система S знаходилась у вихідний момент. Це означає, що з часом в системі S встановлюються граничний стаціонарний режим, в ході якого вона переходить із стана в стан, але ймовірності станів вже не змінюється.

У цьому граничному режимі кожна фінальна ймовірність може буде стлумачена як середній відносний час прибування системи у даному стані.

Система, для якої існують фінальні стани, називається ергодичною та відповідний випадковий процес – ергодичним.

Для існування фінальних ймовірностей станів однієї умови _ij =const недостатньо, необхідно виконання ще деяких умов, перевірити які можливо по графу станів, виділив на ньому „суттєві” та „несуттєві” стани.

Стан s _i називається „суттєвим”, якщо нема такого іншого стану s _j, що, перейдучи одного разу будь-яким способом з s _i в s_j, система вже не може повернутися в s _i. Усі стани, які не мають такої властивості, називаються несуттєвими.

Наприклад, для системи S, граф якої поданий на рис. 5.8, стани s₁, s₂ –несуттєві (з s ₁ можна вийти, наприклад, в s ₂ й не повернутися, а з s ₂ в s ₄ або в s ₅ й не повернутися), а стани s₄, s₅, s₃, s₆, s₇ – суттєві (суттєві стани обведені жирними лініями).

 

Рис. 5.8. Граф станів системи S з „суттєвими” та „несуттєвими” станами.

 

При скінченому числі станів n для існування фінальних ймовірностей необхідно й достатньо щоб з кожного суттєвого стану можна було (за будь-яку кількість кроків) перейти в кожне інше суттєве. Граф, який наданий на рис. 1.8, цій умові не задовольняє (наприклад, з суттєвого стану s₄ не можна перейти в суттєвий стан s₆ ).

Для графа, який наданий на рис. 5.9, фінальні ймовірності існують (з кожного суттєвого стану можливий перехід в кожний інший суттєвий).

 

 

Рис. 5.9. Граф станів системи S.

 

Несуттєвими стани називаються тому, що раніше чи пізніше з кожного такого стану система піде в будь-який суттєвий стан й більше в них не повернеться. Природно, що фінальні ймовірності для несуттєвих станів дорівнюють нулю.

Якщо система S має скінчене число станів s ₁, s₂,...s_n, то для існування фінальних станів достатньо, щоб з будь-якого стану системи можна було (за будь-яке число кроків) перейти в будь-яке інше.

Якщо число станів s ₁,s₂,...s_n,... нескінчене, то ця умова перестає бути достатньою, й існування фінальних ймовірностей залежить не тільки від графа станів, але й від інтенсивностей .

Фінальні ймовірності станів (якщо вони існують, можуть бути отримані розв’язанням систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які отримуються з диференційних рівнянь Колмoгорова, якщо покласти в них ліві частини (похідні) рівними нулю.

Однак зручніше скласти такі рівняння безпосередньо по графу станів, користуючись мнемонічним правилом: для кожного стану сумарний вихідний потік ймовірності дорівнює сумарному вхідному.

Наприклад, для системи S, розмічений граф станів якої наданий на рис. 5.10, рівняння для фінальних станів мають вигляд:

(5.22)

 

Рис. 5.10 Граф станів системи S

 

Таким чином, ми отримуємо (для системи S з n станами) систему n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими p₁, p₂,..., p_n. З цієї системи можна знайти невідомі p₁, p₂,..., p_n з точністю до будь-якого множника.

Щоб знайти точні значення p₁,..,p_n до рівнянь додається нормувальна умова p₁ + p₂ +...+ p_n= 1, використовуючи яку можна виразити будь-яку з ймовірностей p _і через інші (й відповідно відкинути одне з рівнянь).

На практиці дуже часто можна зустрітися з системами, граф стану яких поданий на рис. 5.11 (усі стани можна витягнути у ланцюг, причому кожний з яких пов’язаний прямим й зворотнім зв’язком з двома сусідніми). Схема, яка зображена на рис. 5.11, називається схемою „погибелі та розмноження ”. Ця назва взята з біологічних завдань, де стан популяції s_k означає наявність в неї k одиниць. Перехід праворуч пов’язаний з „розмноженням”, ліворуч – з їх „погибеллю”.

 

 

Рис. 5.11. Схема „загибелі та розмноження”.

 

На рис. 1.11 „інтенсивності розмноження” () проставлені у стрілок, що ведуть зліва праворуч, „інтенсивності погибелі” ()- у стрілок, які ведуть справа ліворуч. Кожна з них відмічена індексом того стану, з якого виходить відповідна стрілка.

Для схеми погибелі та розмноження фінальні ймовірності станів виражаються формулами:

(5.23)

 

 

Звернемо увагу на правило обчислення будь-якої ймовірності стану (при :

,

яке можна сформолювати так: ймовірність будь-якого стану в схемі погибелі та розмноження (рис.5.11) дорівнює дробі, в чисельнику якої стоїть добуток усіх інтенсивностей розмноження, які стоять ліворуч s_k, а у знаменнику – усіх інтенсивностей погибелі, які стоять ліворуч s_k, помноженої на ймовірність крайне лівого стану Р_0.

Якщо процес описується схемою погибелі та розмноження, то можна записати диференційні рівняння для математичного очікування і дисперсії випадкової функції Х(t) – числа одиниць в системі у момент часу t:

(5.24)

(5.25)

 

У цих формулах необхідно полагати .

Інтенсивність і можуть бути будь-якими позитивними функціями часу.

При достатньо великих значеннях m_x(t) (>20) й виконання умови 0< m_x(t) можна приблизно вважати, що перетин випадкової функції х(t) являє собою нормальну випадкову величину з параметрами m_x (t), , що отримані розв’язуванням рівнянь (5.24), (5.25). Формули (5.24), (5.25) залишаються справедливими при якщо верхня межа в сумах замінити на .

 

Розглянемо декілька прикладів.

 

Приклад 5.1. Здійснюється накладення („суперпозиція”) двох простіших потоків:

1) потока І з інтенсивністю й 2) потока ІІ з інтенсивністю (рис.5.12). Чи буде потік ІІІ, який був отриманий у результаті суперпозиції простішим, й, якщо так, то з якою інтенсивністю?

 

Рис. 5.12. Схема суперпозиції двох потоків.

 

Розв’язок. Так, буде, бо властивості стаціонарності, ординарності та відсутності післядії зберігаються; інтенсивність потока ІІІ буде + .

Приклад 5.2. Здійснюється випадкове проріжування простішого потока подій з інтенсивністю ; кожна подія, незалежно від інших, з ймовірністю р зберігається у потоці, а з ймовірністю 1-р викидається (так звана операція р - перетворення потоку). Яким буде потік, який отримується у результаті р -перетворення простішого потоку?

Розв’язок. Поток буде простішим з інтенсивністю . Дійсно, усі властивості простішого потока (стаціонарність, ординарність, відсутність післядії) при р- перетворенні зберігаються, а інтенсивність помножується на р.

Приклад 5.3. Інтервал часу Т між подіями в ординарному потоці має щильність:

при t>t₀ (5.26)

при t<t₀

Інтервали між подіями незалежні. 1)Побудувати графік густини f (t). 2) Чи є такий потік простішим? 3) Чи є він потоком Пальма? 4) Яка його інтенсивність ? 5) Який коефіцієнт варіації інтервала між подіями?

Розв’язок. Графік щильності потоку поданий на рис. 5.13. Він є „зрушеним на t₀ показовим”. 2) Ні, не є, бо розподіл (5.26) не є показовим. 3) Так, є в силу ординарності потока, незалежності інтервалів й однакового їх розподілу.

Рис. 5.13. Графік розподілу f (t).

 

4)

5)

 

Приклад 5.4. Потік машин, які прямують по однорядній смузі шосе в одному напрямку, являє собою простіший потік з інтенсивністю . Людина виходить на шосе для того, щоб зупинити першу найліпшу машину, що прямує у даному напрямку. Знайти закон розподілу часу Т, який йому необхідно очікувати; визначити його математичне очікування m_t й середнє квадратичне відхилення σ_t.

Розв’язок. Відомо, що простіший потік немає післядії, то „майбутнє” не залежить від „минулого”, зокрема, від того, скільки часу тому пройшла остання машина. Розподіл Т точно такий же, як й розподіл проміжку часу між появою сусідніх машин, тобто показовий з параметром :

звідки

Приклад 5.5. Пасажир виходить на зупинку електропоїздів у деякий момент часу, що не пов’язаний з розкладом руху. Електропоїзди прямують один за одним регулярно з інтервалом часу довжини l. Знайти закон розподілу часу Т, який знадобиться пасажиру очікувати електропоїзд, а також m_t, через інтенсивність потоку електропоїздів .

Розв’язок. Момент приходу пасажира розподілений з постійною щильністю на інтервалі довжини l між двома електропоїздами; щильність розподілу часу очікування Т буде також постійною [рівномірний розподіл на інтервалі (о, l)]: або позначаючи . Для рівномірного розподілу на ділянці довжини маємо ; ; ; .

Приклад 5.6. На вісі ot є пальмовський потік подій із щильністю f(t) інтервала Т між двома подіями. Випадкова точка („інспектор”) потрапляє будь-куди на інтервал Т (рис.1.14). Вона ділить його на два проміжки: Q – від найближчої попередньої події до й Н – від до найближчої наступної події.

Знайти розподіл обох цих проміжків.

Рис. 5.14. Розподіл інтервала Т між двома подіями „інспектором”.

 

Розв’язок. Припустимо, що випадкова величина Т прийняла значення s: Т = s, й знайдемо умовний розподіл проміжка Q при цій умові. Позначимо його щильність Так точка кидається на вісь цілком випадково (безвідносно до подій потоку), в вочевидь, вона буде мати рівномірний розподіл у межах проміжка Т = s:

при 0< t < s. (5.27)

Щоб знайти безумовний розподіл f_Q (t), необхідно зосередити щильність (5.27) із „вагою” . Використаємо формулу , (t > 0)й отримуємо:

Враховуючи, що відмінно від нуля тільки при s > t, можна написати:

,

де F(t) – функція розподілу інтервала Т між подіями в потоці Пальма

Тому .

В вочевидь, що той же розподіл буде мати й проміжок часу Н= Т - Q

.

Приклад 5.7. В процесі експлуатації ПЕОМ може розглядатися як фізична система S, яка у результаті перевірки може опинитися в одному з наступних станів: s₁ – ПЕОМ повністю справна; s₂ – ПЕОМ має незначні несправності у оперативній пам’яті, при яких вона може розв’язувати задачі; s₃ – ПЕОМ має суттєві несправності й може розв’язувати обмежений клас задач; s₄ – ПЕОМ повністю вийшла з ладу.

У початковий момент часу ПЕОМ повністю справна (стан s₁). Перевірка ПЕОМ здійснюється у фіксовані моменти часу t₁, t₂, t₃ . Процесс, що протікає в системі s, може розглядатися як однорідний макровський ланцюг з трьома кроками (перша, друга і третя перевірка ПЕОМ). Матриця перехідних ймовірностей має вигляд

 

 

Визначити ймовірності станів ПЕОМ після трьох перевірок.

Розв’язок. Граф станів системи поданий на рис. 5.15.

 

Рис. 5.15. Граф станів ПЕОМ

 

Початкові ймовірності станів Р₁(0)=1; Р₂(0)=Р₃(0)=Р₄(0)=0

Відомо, що

Тоді, враховуючи в сумі ймовірностей тільки ті стани, з яких можливий безпосередній перехід у даний стан, знаходимо:

Таким чином:

; ; ; .

Приклад 5.8. Розглядається процес роботи ПЕОМ. Потік відмов (збоїв) працюючої ПЕОМ – простіший з інтенсивністю . Якщо ПЕОМ дає збій, то він негайно виявляється, й обслуговуючий персонал приступає до його усунення (ремонту). Закон розподілу часу ремонту – показовий з параметром (t > 0). У початковий момент (t = 0) ПЕОМ справна. Знайти: 1) ймовірність того, що в момент t ПЕОМ буде працювати; 2) ймовірність того, що за час (0,t) ПЕОМ дасть хоча б один збій; 3) фінальні ймовірності станів ПЕОМ.

Розв’язок. 1) Стани системи s (ПЕОМ) такі s₀ – справна, працює; s₁ - несправна, ремонтується.

Розмічений граф станів поданий на рис. 5.16,а

 

 

Рис. 5.16. Розмічений граф системи s.

 

Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів Р₀ (t) й P₁ (t) мають вигляд

(5.29)

З цих рівнянь будь-яке може бути відкинуте бо для будь-якого моменту t маємо Р₀ + Р₁ =1.

Підставляючи в перше з рівнянь (5.28) Р₁ = 1- Р₀, отримуємо одне диференційне рівняння відносно Р₀:

.

Розв’язуючи це рівняння при початковій умові Р₀ (0) = 1, отримуємо

(5.30)

звідки

(5.31)

2) Для знаходження ймовірності того, що за час t ПЕОМ дасть хоча б один збій, введемо нові стани системи s: ПЕОМ жодного разу не давала збій; - ПЕОМ хоча б один раз дала збій. Стан буде „поглинаючим” (див рис. 1.16, б).

Розв’язуємо рівняння Колмогорова при початковій умові , отримуємо звідки =1- = Таким чином, ймовірність гото, що за час t ПЕОМ дасть хоча б один збій, дорівнює = Цю ймовірність у даному випадку можна було б розрахувати й простіше, як ймовірність тогою що за час t з’явиться хоча б один збій в простішому потоці збоїв з інтенсивністю .

3) З рівнянь (1.30) і (1.31) при отримуємо фінальні ймовірності станів:

 

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Розкрийте сутність простішого потоку.

2. Дайте визначення потокам Пальма і Ерланга.

3. Охарактеризуйте марковський процес з дискретними станами та дискретним часом.

4. Розкрийте сутність марковського процесу з дискретним станом та безперервним станом.

5. Опишіть сутність схеми «загибель та розмноження».

6. Розв’язати такі задачі:

6.1 В умовах задачі 5.8 несправність ПЕОМ виявляється не відразу, а через деякий час, який має показовий розподіл з параметром υ. Написати і розв’язати рівняння Колмогорова для ймовірностей станів й знайти фінальні ймовірності по графу станів (рис. 1).

Рис. 1 Граф станів системи

 

6.2. Складіть рівняння Колмогорова для системи (рис.5.18). Який буде вигляд цих рівнянь при сталому режимі роботи системи?

Рис. 2 Граф станів системи

 

6.3. В умовах задачі 2 граф станів ПЕОМ має вигляд (рис. 3). Визначити ймовірності станів ПЕОМ після трьох перевірок.

Рис. 3 Граф станів ПЕОМ