Содержание
ГЛАВА I. АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 1. Линейные уравнения и линейные преобразования 1
§ 2. Линейные преобразования с линейным параметром 14
§ 3. Преобразования к главным осям квадратичных и эрмитовых форм 20
§ 4. Минимально-максимальное свойство собственных значений 28
§ 5. Дополнения и задачи к первой главе 31
Глава II. ЗАДАЧА О РАЗЛОЖЕНИИ В РЯД ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Ортогональные системы функций 42
§ 2. Принцип предельных точек в функциональном пространстве 50
§ 3. Мера независимости и число измерений 55
§ 4. Теорема Вейерштрасса об аппроксимировании. Полнота системы 58
степеней и системы тригонометрических функций
§ 5. Ряды Фурье 62
§ 6. Интеграл Фурье 70
§ 7. Примеры на интеграл Фурье 75
§ 8. Полиномы Лежандра 77
§ 9. Примеры других ортогональных систем 80
§ 10. Дополнения и задачи ко второй главе 90
ГЛАВА III. ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Предварительные соображения 104
§ 2. Теоремы Фредгольма для выродившегося ядра 107
§ 3. Теоремы Фредгольма для произвольного ядра 109
§ 4. Симметрические ядра и их собственные значения 113
§ 5. Теорема о разложении и ее применения 124
§ 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро 130
§ 7. Формулы Фредгольма 132
§ 8. Новое обоснование теории 186
§ 9. Расширение границ приложимости теории 140
§ 10. Дополнения и задачи к третьей главе 142
ГЛАВА IV. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи вариационного исчисления 152
§ 2. Прямые методы 162
§ 3. Уравнения Эйлера 173
§ 4. Замечания относительно интегрирования дифференциального уравнения Эйлера. Примеры
§ 5. Граничные условия 198
§ 6. Вторая вариация и условие Лежандра 205
§ 7. Вариационные задачи с дополнительными условиями 207
§ 8. Инвариантный характер дифференциальных уравнений Эйлера 213
§ 9. Приведение вариационных задач к каноническому и инволюционному 222
виду
§ 10. Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения математической физики
§ 11. Дополнения и задачи к четвертой главе 243
ГЛАВА V. ПРОБЛЕМЫ КОЛЕБАНИЙ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 1. Предварительные замечания о линейных дифференциальных уравнениях
| § 2. Системы с конечным числом степеней свободы | |
| § 3. Колебания струны | |
| § 4. Колебания стержня | |
| § 5. Колебания мембраны | |
| § 6. Колебания пластинки | |
| § 7. Общие соображения о методе собственных функций | |
| § 8. Колебания трехмерных континуумов | |
| § 9. Краевые задачи теории потенциала и собственные функции | |
| § 10. Задачи штурма-лиувиллевского типа. Особые краевые точки | |
| § 11. Об асимптотическом поведении решений штурм-лиувиллевских |
дифференциальных уравнений
§ 12. Краевые задачи с непрерывным спектром собственных значений 320
§ 13. Теория возмущений 324
§ 14. Функция Грина (функция влияния). Приведение задач с дифференциальными уравнениями к интегральным уравнениям
§ 15. Примеры функции Грина 349
§ 16.Дополнения к пятой главе 366
ГЛАВА VI. ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЗАДАЧАМ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
§1. Экстремальные свойства собственных значений 375
§ 2. Общие следствия из экстремальных свойств собственных значений 384
§ 3.Теорема о полноте системы собственных функций и теорема о разложении
§ 4. Асимптотическое распределение собственных значений 407
§ 5. Задачи о собственных значениях шрёдингеровского типа 423
§ 6. Узлы собственных функций 429
§ 7. Дополнения и задачи к шестой главе 434
ГЛАВА VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ, К КОТОРЫМ ПРИВОДЯТ ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
§ 1.Предварительные замечания относительно линейных дифференциальных уравнений второго порядка
§ 2. Функции Бесселя 445
§ З. Шаровые функции Лежандра 477
§ 4. Применение метода интегральных преобразований к дифференциальным уравнениям Лежандр а, Чебышева,Эрмита и Лагерра
§ 5. Шаровые функции Лапласа 485
§ 6. Асимптотические разложения 496
Примечания 509
Предметный указатель 519
Предметный указатель Абеля интегральное уравнение 146
Адамар, оценка определителя 32—33
Амплитуда 268
Аппроксимирование в среднем 44
- теорема Вейерштрасса об аппроксимировании 58
- одновременное аппроксимирование производных 61
Аргумент функциональный 156
Асимптотическое поведение
- - бесселевых функций 314—315, 498—506
- - функций Лежандра 507—508
- - собственных функций Штурм-Лиувилля 312—320
Асимптотическое поведение собственных значений 120, 273, 384—402
- - - - у дифференциального уравнения Бесселя 393—394
- - - - в задаче Штурм-Лиувилля 392 Асимптотическое число измерений 56 Асимптотические разложения 496—508
Бесконечно большое число переменных 35, 48—49, 148—149, 165—171
Бесконечное возрастание собственных значений 120, 273, 390 Бесконечно малое линейное преобразование 35—36 Бесселевы функции 286, 306, 350, 368, 380, 445—477
- - асимптотическое поведение при больших значениях аргумента 314, 498
- - при больших значениях параметра 393
- - выражение бесселевых функций в виде интегралов 451—460
- - интегральная теорема 321, 467—468
- - нули бесселевых функций 469—473
- - особые точки 477
- - соотношения между бесселевыми функциями 463—467
Бесселевы функции, степенной ряд 460—463
- - теорема сложения 467
Бесселя неравенство для систем векторов 4
- - для систем функций 45
Биения 368
Билинейная интегральная форма 114
Билинейная форма 10
Билинейная формула для итерированных ядер 127
Билинейное соотношение 339, 342, 348
Биортогональности условия 382
Биполь 490
Брахистохрона 158
Вариационная производная 175
Вариация первая 176, 198—205
- вторая 205
- в случае переменной области интегрирования 246
Вейерштрасс, теорема об аппроксимировании 58
- теорема об экстремумах непрерывных функций 20—21, 152
- условие для угловых точек 245
Векторы 1—3
Взаимное ядро 130
Взаимно обратные формулы для определенных интегралов 74—75, 91 Взаимность в вариационных задачах с дополнительными условиями 153 Влияния функция см. Гринова функция
Возмущений теория 324—328
- - пример к теории возмущений 328—330
Волновая поверхность 205
Вольтерра, интегральное уравнение 146, 317—320
Вынужденное движение 269, 274, 278, 283, 367
Выродившиеся квадратичные формы 24
- ядра 106
Высота гона 268
Гаара теорема 192—193
Гамильтона принцип 233—234
Гаммерштейна теорема 150
Ганкеля функции 447—451, 454—460
- - асимптотическое вычисление для больших значений аргумента 498—500
Ганнкеля функции для больших значении аргумента и параметра 502—506
- - особые точки 477
Геодезические линии 158, 178, 204
Гиббса явление 98
Главные колебания 268
Гладкие, кусочно-гладкие функции 41
Гладкость множества функций 54
Градиент в функциональном пространстве 214
Грама определитель 31—32, 100
Граница, свободная вариация на границе 198, 201 Граничные условия см. Краевые условия Гринова функция 294, 330—348
- - дифференциального уравнения Бесселя 349, 350
- - дифференциального уравнения Лагерра 353
- - дифференциального уравнения Лежандра 350
- - дифференциального уравнения Эрмита 351—352
- - для круга и шара 354—356
Гринова функция для прямоугольника 362, 364
- - для прямоугольного параллелепипеда 357—362
- - для шаровой поверхности 356—357
- - и конформное отображение 356
- - и краевая задача 330—337, 342, 346
- - обобщенная 335
- - построение 334—335
- - примеры 349—366
- - симметричность 333, 343
- - существование 345
Гриновы тензоры 371
Дарбу, метод асимптотического вычисления 506—508
Движение вынужденное 269, 274, 278, 283, 367
Делитель элементарный 39
Дивергенция, выражение типа дивергенции 182—185, 242, 255
Дини теорема 50
Диполь см. Биполь
Дирихле, задача Дирихле 167—170
- интегральная формула 71
- разрывный множитель 75—76
Дюбуа-Реймона теорема 190
Единичная сила см. Сосредоточенная сила Естественные граничные условия 198 Жесткость, увеличение жесткости 27, 271
Задачи о собственных значениях асимптотическое поведение 312—320
- для замкнутых поверхностей 439
- определение 272, 292
- с непрерывным спектром 320—324
- Шредингера 322—324
- Штурм-Лиувилля 275, 306, 312, 320 Замкнутые системы функций 102—103 Измеримые точечные множества 101 Изопериметрическая задача
- - для многоугольников 162—163
- - на кривой поверхности 244
- - решение Гурвица 90
- - уравнение Эйлера 207—209
Изопериметрические задачи 159—161, 207—210
Инвариантность дифференциальных уравнений Эйлера 213, 221
Инвариантные вариационные задачи 248
Индикатрисса 244
Инерция, закон инерции квадратичных форм 25
Интеграл Дирихле 71
- Лебега 100—103
- Пуассона 488—489
- Фурье 70—76
Интегралы уравнений движения системы материальных точек 250—252
Интегральная теорема для бесселевых функций 321, 467, 469
- - Фурье 70—76
Интегральная форма, билинейная и квадратичная 113 Интегральное преобразование, метод и.п. 444, 445, 446, 481—485 Интегральные выражения
- - бесселевых функций 451—460
- - функций Ганкеля 447, 459—460
- - - Лагерра 484—485
- - Лежандра 477—483
- - - Неймана 474
- - - Чебышева 483—484
- - - Эрмита 484
Интегральные уравнения (линейные)
- - первого рода 147
- - второго рода или Фредгольма 104
- - третьего рода или полярные 149
- - Вольтерра 146, 317—320
- - неоднородные 126, 138—139
- - однородные 104
- - особенные 142—143
- - симметрические 113—131, 137—138
- - применение к задачам о собственных значениях дифференциального уравнения
330—348
Интегральные формулы Мелина 95—98 Интегродифференциальные уравнения 381 Истокообразно представленные функции 105 Итерированные ядра 127
Канат, колебание каната, подвешенного за один конец 368 Каноническая форма вариационных задач 229 Канонические дифференциальные уравнения 230 Кастильяно, принцип Кастильяно 253, 256
Квадратичная форма 10—12, 20—30
- интегральная форма 113
Кели, теорема Кели 19
Келлог, метод определения собственных функций 145
Кинетическая энергия 233
Колебание, уравнение колебания 271, 275, 282, 290, 369 Колебание, примеры на уравнение колебания 369—370 Конечные разности, метод конечных разностей 165 Континуумы, колебания трехмерных континуумов 296—297 Конформное отображение 356
Координаты нормальные 267
- полярные 216
- эллиптические 217
- эллиптические вырождающиеся 220, 221
Краевое условие теории потенциала 239, 297, 306
Краевые условия естественные 198—205
- однородные и неоднородные 262
- содержащие параметр 370, 438—439
- для колеблющейся струны 276
- для колеблющегося стержня 280 Кратное собственное значение 120 Кратность собственного значения 105, 120
Кратчайшие линии 158, 178, 204
Критическая сила 258
Кусочно-гладкие функций 41
- непрерывные функции 41
Лагерр, дифференциальное уравнение Лагерра, применение метода интегрального преобразования 484—485
- полиномы и ортогональные функции Л. 81, 86, 89, 310—312, 323, 353, 484—485
Лагранж, уравнения движения Лагранжа 234
- множитель Лагранжа 153, 211, 222
Ламэ, функции Ламэ, уравнение Ламэ, задача Ламэ 301—306
Лаплас, интегральное выражение шаровых функций Лежандра 479—481, 482
Лаплас, преобразование Лапласа 445, 454
- шаровые функции см. Шаровые функции Лапласа Лебег, теория Лебега 51, 52
- интеграл Лебега 100, 101
- теорема сходимости Лебега 101
Лежандр, дифференциальное уравнение Лежандра, применение метода интегрального преобразования 432, 481
- полиномы Лежандра 77—80, 307, 308, 380, 483, 507, 508
- условие Лежандра в вариационном исчислении 175, 205
- шаровые функции Лежандра см. Шаровые функции Лежандра Линейная зависимость векторов 2
- - функций 43
Линейное преобразование 5, 14
Линейные уравнения 1, 5 Лиувилль см. Штурм-Лиувилль Логарифмический потенциал 355
Максвелл, теория шаровых функций Максвелла 489—496
Максимальная последовательность 163
Максимально-минимальное свойство собственных значений 28—30, 122, 383
Малые колебания 235
Матрица 6
Матье, функции Матье 369, 370
Мелин, формулы обращения Мелина 95
Мембрана, потенциальная энергия 238
- вариационная задача и дифференциальное уравнение 237—240
- однородная 281—289
- неоднородная 289
- круговая 286, 289
- прямоугольная' 284—286
- "кривая" 300
- минимальное свойство 441
Мера независимости 32, 55—56 Мера точечного множества 100—101 Мерсер, теорема Мерсера 128 Минимальные поверхности 171, 182
Минимальные последовательности 163
Минимальные свойства
- собственных значений 434, 437
- собственных функций 149
Множество, мера точечного множества 100—101
- меры нуль 101
Множитель Эйлера-Лагранжа 153, 211, 222
Мультипликативная вариация 436
Мультиполь 490
Мюнц, теорема о полноте системы степеней 94
Нагрузка, задачи с нагрузкой 381
- ортогональные полиномы, соответствующие нагрузке p(x) 80—81
Наложение, принцип наложения 261
Начальное состояние 241
Неголономные условия 212
Независимость, мера независимости 32, 55, 56
Неймана ряд 8, 16, 130—131, 320
Неймана функции 449—451, 473—476
- интегральные выражения 474
- особые точки 477
- разложения в степенной ряд 475, 477
Неограниченное возрастание собственных значений 120, 273, 390
Неоднородная мембрана 289—290
- струна 275—279
Неоднородные интегральные уравнения 126, 138, 139
- краевые условия 262
Неопределенное ядро 114
Непрерывная зависимость от ядра 139—140
Непрерывность, кусочная непрерывность 41
- свойства непрерывности собственных значений 396
Непрерывный спектр 320—324
Нормальные координаты 267
Норм. вектора 2
- функции 42
Нормированные векторы 2
- функции 42
Нули бесселевых функции 429, 469—473 Нули собственных функций 429—434 Ньютонов потенциал 354—355
Обертоны 270
Обращение, формулы обращения Мелина 95—98
Однородная мембрана 281—289
- струна 271—275
Однородная форма дифференциального уравнения Эйлера 193
Однородные интегральные уравнения 104
Однородный стержень 279
Окрестность функции 157 Определенная квадратичная форма 11 Определенное ядро 114 Ортогонализация системы векторов 4
- - функций 43, 44
Ортогональная система векторов, полная 3, 4
- - функций, полная 46
Ортогональные векторы 3
- преобразования 12—14, 48—49
- функции 42
Ортогональные системы специальные см. Бесселевы функции, Эрмита полиномы, Лагерра полиномы, Якобиевы полиномы, Шаровые функции Лапласа, Шаровые функции Лежандра, Чебышева полиномы Ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру 147
Основное решение 332, 346
Основной тон 270
Особенные интегральные уравнения 142—143 Особые точки бесселевых функций 477 Отображение конформное 356 Отрицательные собственные значения 394 Перевал, метод перевала 501, 506
Пикар, теорема Пикара о разрешимости интегрального уравнения 148
Пластинка, потенциальная энергия 241
- вариационная задача и дифференциальное уравнение 241—243
- задача о собственных значениях 290, 291
- круговая 290—291
- минимальное свойство 441
- асимптотическое распределение собственных значений 438
Плотность спектра 93
Плотные системы функций 93
Площадей теорема 251
Полная ортогональная система векторов 3, 4
- - - функций 46
- - - функций многих переменных 49, 50
Полнота системы
- полиномов Лагерра 88
- полиномов Лежандра 77
- полиномов Эрмита 88
- собственных функций дифференциального уравнения 331—342, 339, 347, 402
- степеней 58—61
- тригонометрических функций 61—62
- шаровых функций Лапласа 487
- штурм-лиувиллевских собственных функций 339
- соотношение или условие полноты 4, 46
Полярное интегральное уравнение 149
Полярные координаты, преобразование \Deltau к полярным координатам 216— 217
Потенциал Ньютона 354—355
- логарифмический 355
- теория потенциала 166—171, 297—306, 342—348, 354—366
- уравнение потенциала 182
Предельные точки, принцип предельных точек 52
Преобразование
- бесконечно большого числа переменных 48—49
- бесконечно малое линейное 35—36
Преобразование вариационных задач 222, 233
- дифференциального выражения \Deltau 216
- интегральное преобразование дифференциального уравнения 444—445, 446, 481—485
- интегральное п. Мелина 95—98
- квадратичной формы к главным осям 20, 30
- Лапласа 445, 454
Преобразование линейное 5
- ортогональное 12—14, 46—49
- унитарное 14
- формула преобразования тета-функции 68—69
- Фридрихса 225, 226
- Эйлера 445
Продольный изгиб 258
Произведение скалярное
- векторов 1—2
- функций 42
Производящие функции 452, 453, 483, 485
Пространство функций 51
Прямые методы вариационного исчисления 162
Пуассон
- интеграл Пуассона 488—489
- уравнение Пуассона 346
- формула суммирования Пуассона 69
Равностепенная непрерывность 52, 105
Разложение, теоремы о разложении 339—340, 342, 347, 348, 349, 373, 404, 407,
Разрешающее ядро 130, 131 Разрыв, условия разрыва 381 Резольвента билинейной формы 16
- квадратичной формы 26—28
- линейного интегрального уравнения 130, 135
Рисса-Фишера теорема 102
Ритц, метод решения вариационных задач 163—165
Ряд Неймана 8, 16, 130, 320
- Фурье 62, 70
Свет, кратчайшее время распространения света, принцип Ферма 153
Световые лучи 153, 158, 179, 205, 243
Свободные кряя, свободная вариация на границе 198—201
Сильвестр, алгебраическая теорема Сильвестра 493, 494—496
- выражение шаровых функций Максвелла-Сильвестра 489—496 Симметризация, ядро, допускающее симметризацию 150 Симметрическое ядро 113—124
Скалярное произведение векторов 1—2
- - функций 42
Собственная частота 268, 272
Собственные векторы 21, 269
Собственные значения 15, 23—24, 113, 124, 272, 292, 375
- - кратные 120
- - бесконечно большой кратности 372
- - задачи, о собственных значениях см. Задачи о собственных значениях
- - их распределение 385—402, 407—423
- - их существование 28—30, 113—124, 338, 341—342, 347, 348
- - максимально-минимальное свойство 28, 30, 122, 124, 383
- - оценки 439, 441
- - экстремальные свойства 375
Собственные колебания 268, 272
Собственные функции 105, 272
- - их существование 338, 341—342, 347, 348—349 Сопряженное дифференциальное выражение 262—265 Сосредоточенная сила 331, 342
Спектральное разложение 92—93
Спектр матрицы 15
Спектр унитарной матрицы 39—40
- дифференциального уравнения 320, 321
- дискретный, имеющий конечную точку сгущения 322—324
- непрерывный 92—93, 320, 324, 426 Стационарные функции и кривые 176 Стержень, потенциальная энергия 237
- вариационная задача и дифференциальное уравнение 237
- естественные краевые условия 237
- задача о собственных значениях 279—281
- однородный 279
Стирлинг, формула Стирлинга 496, 498
Струна, потенциальная энергия 236
- вариационная задача и дифференциальное уравнение 236
- неоднородная 275—279
- однородная 271—275
- оттянутая 366—367
- примеры на колебание струны 366, 368 Суммирование, формула суммирования Пуассона 69 Суммируемые функции 100
Суперпозиция, принцип суперпозиции 261
Сходимость в среднем 102
- теоремы сходимости Лебега 101
Тензор Грина 371
Теплопроводность, задачи о собственных значениях в теории теплопроводности, дифференциальное уравнение теплопроводности 294—295
Тета-функции, применения 360—362, 366
Тета-функции функциональное уравнение 68, 69
Томсона принцип в электростатике 253 Тон, высота тона 268 Трансверсальность 201—205
Угловые точки, условие Вейерштрасса-Эрдмана для угловых точек 245
Узловые линии 284, 286, 287, 372
Узловые точки 284, 429, 442
Унитарная матрица 9
Унитарное преобразование 14
Условия разрыва 332, 334, 335, 340, 341, 381
Фаза 268
Фейер, теорема Фейера о суммировании 94—95
Ферма, принцип Ферма 153
Фишер-Рисса теорема 102
Форма билинейная 10
- интегральная 113
- квадратичная 11
Формы, зависящие от бесконечно большого числа переменных 35
Фредгольм, теоремы Фредгольма 107, 109
- формулы Фредгольма 132—135
Фридрихса преобразование 225, 226
Фундаментальная лемма вариационного исчисления 174 Фундаментальные функции см. Собственные функции Функционал 155
Функциональное пространство 51
Функциональное уравнение тета-функции 68, 69
Функциональный аргумент 156
Фурье, коэфициенты Фурье 44, 63
- - - порядок их малости 67
- интеграл Фурье 70—76
- ряд Фурье 62—70
Характеристические числа 19, 23
Центр тяжести, теорема о движении центра тяжести 251
Цепная линия 160, 210
Цилиндрические функции см. Бесселевы функции, Ганкеля функции, Матье, функции Матье, Неймана функции
Чебышева дифференциальное уравнение, применение метода интегрального преобразования 483—484
- полиномы 81, 82—83, 309—310, 483, 485
Число измерений последовательности функций 56, 136, 137, 138
Шаровые функции Лапласа 297, 298—299, 485—496
- - выражение Максвелла-Сильвестра 489, 496
- - симметрические 487
- - полнота системы шаровых функций Лапласа 487
- - теорема о разложении 488
Шаровые функции Лежандра 307—309, 350, 477—481
- - асимптотические формулы 507—508
- - второго рода 480—481
- - высшего порядка 309, 481
- - дифференциальное уравнение 79, 80
- - интегральные выражения 477—483
- - как частный случай шаровых функций Лапласа 300
- - производящая функция 79, 483
- - -рекуррентные формулы 479
- - сопряженные 309, 481
Шаровые функции обобщенные 300
Шварц, неравенство Шварца для векторов 2
- - - для функций 42
Шестигранник, софокусный ортогональный 301
Шлефли, интегральное выражение шаровых функций Лежандра 477—479
Шмидт, метод вывода теорем Фредгольма 143—144
Шредингер, задача Шредингера о собственных значениях 322—324
- задачи о собственных значениях шредингеровского типа 423
Штейнера задача 154
- решение изопериметрической задачи 162, 163
Штурм-Лиувилля задача о собственных значениях 275—278, 306—312, 312—320,
379, 432
Эйлер, дифференциальное уравнение Эйлера 175
- преобразование Эйлера 445
Экстремали 175, 178
- ломаные 245
Элементарный делитель 39
Эллиптические координаты 217
- - вырождающиеся 220—221 Эллиптические функции 218, 219 Энергия, интеграл энергии 253 Энског 144
Эрдман, условие для угловых точек 245
Эрмита дифференциальное уравнение, применение метода интегрального преобразования 484
- ортогональные функции 351
- полиномы 310, 484
- полиномы, их производящая функция 485
Ядро, определение 104
- выродившееся 106
Ядро итерированное 127
- определенное 114
- разрешающее или взаимное 130, 135
Ядро симметрическое 113, 124
- допускающее симметризацию 150
- несимметрическое 145, 147
Якоби, полиномы Якоби 81, 83, 309, 310
<
