2.1 Прямая и плоскость в пространстве.
Плоскость 
в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение плоскости, где 
- нормальный вектор плоскости;
2) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
;
4) 
-уравнение плоскости в отрезках, где 
, 
и 
- дины отрезков (со знаком 
), отсекаемых плоскостью на координатных осях 
, 
и 
(знак «
», если отрезок отсекается на положительной части оси и «
», если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до плоскости , заданной общим уравнением 
, находится по формуле:
.
Угол 
, (
) между плоскостями 
и 
, заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если 
, если 
.
3.70 Написать уравнение плоскости 
, проходящей через заданные точки 
и 
перпендикулярно заданной плоскости 
если: а) 
б) 
3.71 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
и 
, если:
а) 
б) 
3.72 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
параллельно вектору 
, если:
а) 
Б).
3.73 Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
если:
а) 
б) 
3.74 Написать уравнение плоскости, зная, что точка 
служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
3.75 Составить уравнение плоскости: а) проходящей через точку 
параллельно плоскости 
б) проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям: 
и 
3.76 Написать уравнение плоскости: а) параллельной плоскости
и проходящей через точку 
; б) проходящей через ось и через точку 
; в) параллельной оси О x и проходящей через две точки 
и (5, 1, 7).
3.77 Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями. Построить плоскости.
А) б) в).
3.78 Через точку 
провести плоскость, которая отсекала бы на осях координат положительные и равные между собой отрезки.
3.79 Вычислить углы между следующими плоскостями:
а) 
и 
б) 
и 
в) 
и 
3.80 Вычислить расстояние:
а) точки 
от плоскости 
;
б) точки 
от плоскости 
;
в) точки 
от плоскости 
3.81 Вычислить расстояние между плоскостями:
и 
3.82 Найти точку, симметричную с началом координат относительно плоскости 
3.83 На оси О z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей: 
и 
3,84 На расстоянии трех единиц от плоскости 
провести параллельную ей плоскость.
3.85 Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 
и координатными плоскостями.
Прямая 
в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где 
и 
- нормальные векторы плоскостей 
и ;
2) 
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору 
(каноническое уравнение);
3) 
- уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
4) 
-уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно данному вектору 
, 
(параметрическое уравнение);
Угол 
, () между прямыми 
и 
, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:
.
, если 
.
, если 
.
Угол 
, () между прямой 
, заданной каноническим уравнением и плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле: 
.
, если 
.
, если 
.
Расстояние между параллельными прямыми и 
, заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:
.
Расстояние между скрещивающимися прямыми и , заданными точкой и направляющим вектором находится по формуле:
.
3.86 Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
и 
, если:
а) 
б) 
3.87 Прямая L задана общим уравнением. Написать для этой прямой, проходящей через точку 
, её каноническое уравнение, если:
а) 
; б) 
.
3.88. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно:
а) вектору 
б) прямой 
в) оси 
г) оси 
д) прямой 
; е) прямой 
.
3.89 Задана прямая 
и точка 
.
Требуется: а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку 
б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой 
в) вычислить расстояние 
3.90 Заданы плоскость 
и прямая 
причем 
. Требуется:
а) вычислить 
и координаты точки пересечения прямой и плоскости; б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую 
перпендикулярно к плоскости 
3.91 Найти расстояние от точки 
до заданной прямой : а) 
; б) 
.
3.92 При каком значении 
плоскость 
будет параллельна прямой 
.
3.93 Определить угол между прямой 
и плоскостью, проходящей через точки 
, 
, 
.
3.94 Найти расстояние между параллельными прямыми:
а) 
и 
;
б) 
и 
.
3.95 Для заданных прямых 
и 
требуется доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т.е. являются скрещивающимися и вычислить расстояние между ними:
а) 
и 
;
б) 
и 
.
2.2. Поверхности и кривые в пространстве.
Поверхностью 
в системе координат называется некоторое множество точек 
пространства, координаты которых и только они удовлетворяют уравнению 
. Уравнение 
называется при этом общим уравнением поверхности 
.
Кривая 
в пространстве определяется в общем случае как линия пересечения двух поверхностей 
и 
, т.е. заданием системы двух уравнений 
.
Алгебраической поверхностью второго порядка в системе координат называется поверхность, общее уравнение которой имеет вид
,
где числа 
не равны нулю одновременно.
Может оказаться, что общее уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей). Если поверхность невырожденная, то преобразованиями системы координат её общее уравнение всегда можно привести к одному из уравнений канонического вида, в новой, канонической системе координат 
. Графики поверхностей, заданных каноническими уравнениями, имеют вид изображённый на рисунках 5-9 (Приложение 2).
Одним из основных методов исследования формы поверхности по её уравнению является метод сечений. Информации, полученной в результате изучения сечений поверхности плоскостями параллельными координатным плоскостям 
, , 
, достаточно для построения эскиза поверхности.
Сферой называется поверхность, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением 
, 
. Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Сфера - частный случай эллипсоида при 
.
Число 
называется радиусом сферы, точка 
, являющаяся началом канонической системы координат называется центром сферы.
Уравнение 
называется нормальным уравнением сферы. Оно определяет сферу с центром в точке 
и радиусом .
Уравнение сферы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к каноническому уравнению 
в новой, канонической системе координат .
3.96. Установить, какие геометрические образы определяются заданными уравнениями:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
; ж) 
; з) 
.
3.97 Найти уравнение поверхности, разность квадратов расстояний от каждой точки которой до точек 
и 
равна 13.
3.98 Найтиуравнение поверхности, сумма расстояний от каждой точки которой до точек 
и 
равна 10.
3.99 Найти уравнение поверхности, модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек 
и 
равен 6.
3.100 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет сферу, найти ее центр и радиус :
а) 
б) 
3.101 Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев (
- центр сферы; 
- радиус; 
- точки на сфере):
а) 
; б) 
;
в) 
-концы диаметра сферы;
г) 
, плоскость 
касается сферы.
3.102 Установить, какие кривые определяются уравнениями:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
В задачах 3.103-3.111 установить тип поверхностей и построить их:
3.103 
. 3.104 
.
3.105 
3.106 
.
3.107 
. 3.108 
.
3.109 
. 3.110 
. 3.111 
.
3.112 Найти точки пересечения поверхности и прямой:
а) 
и 
;
б) 
и 
;
в) 
и 
.
В задачах 3.113-3.116 написать каноническое уравнение поверхности второго порядка, определить её тип и найти каноническую систему координат.
3.113. 
.
3.114. 
.
3.115 
.
3.116 
.
