Кривые на плоскости, заданные параметрическими

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Прямая линия на плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) -уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:

.

Угол , () между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или .

,если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений:

или .

В задачах 3.1-3.3 требуется написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую:

3.1 Прямая задана точкой и нормальным вектором : а) ; б) ;

В).

3.2 Прямая задана точкой и направляющим вектором : а) ; б) ;

в) .

3.3 Прямая задана двумя своими точками и : а) ; б) ;

в) .

3.4 Определить угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, заданной уравнением. Построить прямую.

3.5 Вычислить угол между двумя прямыми:

.

3.6 Через точку провести прямую, параллельную прямой

3.7 Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

3.8 Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и: а) параллельна прямой

б) образует угол в с прямой

в) перпендикулярна

г) образует угол в с прямой

3.9 Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

3.10 Написать уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна: а) оси абсцисс;

б) биссектрисе координатного угла; в) прямой

3.11 Даны вершины треугольника: Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

3. 12 Даны вершины треугольника: Составить уравнения: а) трех его сторон;

б) высоты, опущенной из вершины на сторону ;

в) медианы, проведенной из вершины ;

г) биссектрисы угла .

3.13 Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой

3.14 Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна .

3.15 Найти расстояние точки :

а) от прямой

б) от прямой

в) от прямой

3.16 На оси ординат прямоугольной системы координат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой

3.17 Доказать, что прямые параллельны между собой, и найти расстояние между ними.

3.18 Даны уравнения двух параллельных прямых: Составить уравнение прямой им параллельной и проходящей посередине между ними.

3.19 Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой

3.20 Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:

3.21 Даны уравнения сторон треугольника: Вычислить координаты его вершин.

3.22 Даны две вершины треугольника и точка пересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины

3.23 Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:

3.24 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух высот: и

3.25 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан: и

3.26 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов:

 

Кривые на плоскости.

Кривой в системе координат называется некоторое множество точек плоскости, координаты которых и только они удовлетворяют уравнению . Уравнение называется при этом общим уравнением кривой .

Алгебраической кривой второго порядка в системе координат называется кривая , общее уравнение которой имеет вид:

,

где числа - не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку); 2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых). Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.

Окружностью называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической.

Число называется радиусом окружности, точка , являющаяся началом канонической системы координат называется центром окружности.

Уравнение называется нормальным уравнением окружности. Оно определяет окружность с центром в точке и радиусом . Окружность имеетвид изображённый на рисунке 1 (Приложение 2).

Уравнение окружности, заданное общим уравнением в системе координат , всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к каноническому уравнению в новой, канонической системе координат .

3. 27 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до оси Ox вдвое больше расстояния до оси Oy.

3.28 Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки вдвое меньше расстояния до точки .

3.29 Найти центр окружности, проходящей через точку и касающейся оси абсцисс в точке

3.30 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет окружность, найти ее центр и радиус:

а) г) ;

б) д) ;

в) ; е) .

3.31 Определить, как расположена прямая относительно окружности: пересекает, касается или проходит вне ее, если прямая и окружность заданы уравнениями:

а)

б)

в)

3.32 Найти угол между радиусами окружности проведенными в точки пересечения ее с осью .

3.33 Даны точки и . Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок .

3.34 Окружность касается оси в начале координат и проходит через точку . Написать её уравнение и найти точки пересечения с биссектрисами координатных углов.

Эллипсом называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Эллипс имеет вид изображённый на рисунке 2 (Приложение 2).

Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса, точки , , , - его вершинами, оси и - осями симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат - центром симметрии ( или просто центром) эллипса, прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса. Точки и , где называются фокусами эллипса, векторы и - фокальными радиус-векторами, а числа и - фокальными радиусами точки , принадлежащей эллипсу. Число () называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при эллипс является окружностью). Прямые и называются директрисами эллипса.

Уравнение эллипса, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат (поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению , в новой, канонической системе координат .

3.35 Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось ;

б) большая полуось , а эксцентриситет .

3.36 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.37 Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями:

а) ; б) .

3.38 Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояния одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

3.39 Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и . Написать его уравнение и найти расстояния точки от фокусов.

3.40 Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси , проходит через точку и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти расстояния точки от фокусов.

Гиперболой называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Гипербола имеет вид изображённый на рисунке 3 (Приложение 2).

Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы, точки , - её вершинами, оси и - осями симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат - центром симметрии ( или просто центром) гиперболы, прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гиперболы. Точки и , где называются фокусами гиперболы, векторы и - фокальными радиус-векторами, а числа и - фокальными радиусами точки , принадлежащей гиперболе. Число () называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой её «сплюснутости». Прямые и называются директрисами гиперболы.

Прямые и называются асимптотами гиперболы. Они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы.

Уравнение гиперболы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат (поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению , в новой, канонической системе координат .

3.41 Построить гиперболу Найти:

а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

3.42 Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) рас-стояние между фокусами , а между вершинами ;

б) вещественная полуось , а эксцентриситет .

3.43 Установить, что каждое из следующих уравнений опре-деляет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.44 На гиперболе взята точка с ординатой, равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.

3.45 Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку и имеет мнимую полуось . Написать ее уравнение и найти расстояния точки от фокусов.

Параболой называется кривая, определяемая в некоторой системе координат каноническим уравнением , . Система координат, о которой говорится в определении, называется канонической. Парабола имеет вид изображённый на рисунке 4 (Приложение 2).

Число называется параметром параболы, ось - осью симметрии, точка , являющаяся началом канонической системы координат – вершиной параболы. Точка называется фокусом параболы, вектор - фокальным радиус-вектором, а число - фокальным радиусом точки , принадлежащей параболе. Прямая называется директрисой параболы.

Уравнение параболы, заданное общим уравнением в системе координат , всегда преобразованиями системы координат (поворотом, параллельным переносом, зеркальным отображением) можно привести к каноническому уравнению , в новой, канонической системе координат .

3.46 Построить следующие параболы и найти их параметр:

а) б) в) г)

3.47 Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки , и симметричной относительно ; б) проходящей через точки , и симметричной относительно .

3.48 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину

параметра р: а) б)

в) ; г) .

3.49 На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 4.5.

3.50 Через фокус параболы проведена прямая под углом 120° к оси . Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.

3.51 На параболе найти точку , ближайшую к прямой и вычислить расстояние от точки до этой прямой.

3.52 Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса .

3.53 Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью, имеющей центр в правом фокусе

гиперболы, и проходящей через начало координат.

В задачах 3.54-3.57 написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить её тип и найти каноническую систему координат.

3.54 .

3.55 .

3.56 .

3.57 .

 

Кривые на плоскости, заданные параметрическими